2020-10-09
136
Под функциональным рядом будем понимать всякое выражение вида
(8.9)
где 
функции, определенные на некотором подмножестве 
множества действительных чисел (члены ряда). Сокращенно ряд (13.9) обозначают следующим образом: 
Пусть 
тогда ряд
(8.10)
является числовым рядом. Если числовой ряд (8.10) сходится, то говорят, что ряд (8.9) сходится в точке 
(сходится при 
), а число 
называют точкой сходимости функционального ряда (8.9). Если числовой ряд (8.10) расходится, то говорят, что ряд (8.9) расходится в точке 
(расходится при ).
Множество всех точек сходимости функционального ряда (8.9) называют его областью сходимости. Очевидно, что область сходимости функционального ряда (8.9) является подмножеством множества 
Очевидно также, что в области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от 
Степенным рядом называют функциональный ряд вида
(8.11)
где 
– фиксированные числа (коэффициенты ряда). Сокращенно ряд (8.11) обозначают следующим образом: 
Очевидно, что 0 является точкой сходимости ряда (8.11).
Теорема Абеля. Если степенной ряд (8.11) сходится при 
то он абсолютно сходится при всех значениях 
удовлетворяющих неравенству 
Из теоремы Абеля вытекает
Следствие. Если ряд (8.11) расходится при некотором значении 
то он расходится при всех значениях 
удовлетворяющих неравенству 
Пусть область сходимости степенного ряда (8.11) содержит хотя бы одно ненулевое число и не совпадает с множеством всех действительных чисел. Тогда, существует единственное положительное число 
такое, что во всех точках интервала (
) ряд (8.11) абсолютно сходится, а во всех точках, расположенных вне отрезка [ 
], ряд (8.11) расходится. Это число 
называют радиусомсходимости степенного ряда (8.11), а интервал (
) – интервалом сходимости степенного ряда (8.11).
Если ряд (8.11) сходится лишь в одной точке 
, то считают, что 
= 0. Если же ряд (8.11) сходится при всех действительных значениях 
то считают, что 
а интервалом сходимости этого ряда называют интервал (
).
Радиус сходимости 
можно вычислять по одной из формул
если соответствующий предел существует.
Ряд (8.11) может также сходиться в одном или обоих концах 
интервала сходимости. В этом случае объединение интервала сходимости ряда (8.11) и того его конца (тех его концов), в котором (которых) он сходится, образует область сходимости данного ряда.
Степенным рядом,расположеннымпо степеням двучлена 
называют функциональный ряд вида
(8.12)
где 
– фиксированные числа. Сокращенно ряд (8.12) обозначают следующим образом: 
Ряд (8.12) легко приводится к виду
(8.13)
если положить 
Поэтому, если () – интервал сходимости последнего ряда (
– положительное число), то во всех точках интервала (
) ряд (8.12) абсолютно сходится, а во всех точках, расположенных вне отрезка [ 
], ряд (13.12) расходится. При этом число называют радиусом сходимости степенного ряда (8.12), а интервал (
) называют интервалом сходимости степенного ряда (8.12).
Если ряд (8.13) сходится при всех действительных значениях 
то очевидно, что и ряд (8.12) сходится при всех действительных значениях 
В этом случае считают, что а интервалом сходимости ряда (8.12) называют интервал ().
