Множества в многомерных пространствах

Бронштейн Е.М.

И00 Функции нескольких переменных: учебное пособие / Е.М.Бронштейн;Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т. – Уфа: РИК УГАТУ, 2020. – 86 с.

ISBN

 

Кратко изложено ….……., рассмотрены ………….
Приведены контрольные вопросы для закрепления изученного материала.

Предназначено для … Не дублировать гриф с титульного листа

(аннотация не должна превышать 600 знаков)

 

 

УДК

ББК

 

 

ISBN                                                             © Корректура и верстка. РИК УГАТУ, 2020

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ.. 4

1. МНОЖЕСТВА В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.. 5

2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.. 9

3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, ПРЕДЕЛ.. 11

4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.. 16

5. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ. 20

6. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ.. 26

7. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.. 31

8. ДИФФЕРЕНЦИАЛ.. 37

9. ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРАВЛЕНИЮ... 39

10. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.. 41

11. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.. 49

12. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.. 50

13. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ.. 59

14. НЕЯВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.. 67

15. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ... 72

16. ВЫПУКЛОСТЬ. 75

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.. 84

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.. 85

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Раздел математического анализа «Функции нескольких переменных» играет важнейшую роль в ряде математических дисциплин, в частности, теории дифференциальных уравнений математической физики. Уже из названия просматривается прикладное значение этой дисциплины - на ее языке описываются многообразные явления материального мира.

Математический анализ является наукой в некотором смысле парадоксальной. С одной стороны это лавка редкостей: в некотором точном смысле непрерывные функции это ничтожно малая часть множества всех функций, а дифференцируемые - ничтожно малая часть множества непрерывных функций. С другой стороны, математический анализ наука преимущественно локальная: исследуется поведение функции в окрестности точки (иногда говорят «сколь угодно малой»). В этом смысле специалисты по математическому анализу сродни ювелирам. При этом, аналитики умеют из малого склеивать и большое. В тексте указания на локальную природу объектов выделены полужирным шрифтом.

Изучение этого раздела обычно вызывает затруднения. В нем сочетаются глубокие теоретические построения и основанная на них весьма изысканная техника.

Пособие рассчитано на студентов технических направлений и специальностей с углубленной математической подготовкой, в частности, 02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем.

Отметим, что изложение в большей степени, чем обычно, опирается на конструкции линейной алгебры. Добавлены разделы (неявные отображения, выпуклые функции), которые, как правило, не включаются в курс и рассчитаны на заинтересованных студентов.

Следуя традиции функционального анализа, разделяются функции (одномерные) и отображения (многомерные).

Все разделы сопровождаются вопросами для самопроверки и упражнениями, которые, конечно, не заменяют задачника.

 

 

МНОЖЕСТВА В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

В основе наших рассмотрений - пространство Rⁿ точек (геометрический подход) или векторов (алгебраический подход). Точка M Î Rⁿ это набор (кортеж) вещественных чисел (координат) (x ₁, x ₂,..., x_n). Математический анализ при n =1 рассмотрен в первой части курса, чаще всего рассматриваться будут случаи n =2 или 3. В этом случае используются также обозначения (x,y), (x,y,z), (a,b), (a,b,c) и пр. Все существенное для функций нескольких переменных выявляется уже на этих малых размерностях.

В некоторых племенах счет организован так: один, два, три, много. В «племени» математиков в некоторых разделах используется еще более простой счет: один, далее много. При векторном рассмотрении элементы пространства можно складывать и умножать на числа. Это подробно рассмотрено в линейной алгебре.

Расстояние в Rⁿ определяется формулой , где точки M и N имеют координаты соответственно (x ₁, x ₂,..., x_n) и (y ₁, y ₂,..., y_n),

Важную роль в математическом анализе играет понятие «окрестность точки». На прямой это был интервал с центром в данной точке. В пространствах больших размерностей возможны разные виды окрестностей, т.е множеств точек, расположенных в том или ином смысле поблизости от данной. Будут использоваться два вида окрестностей (обычно говорят об e-окрестности). Шаровая e-окрестность точки M (x ₁, x ₂,..., x_n) это множество { N:r(M,N)<e}. Параллелепипедная окрестность это множество { N:| x_i-y_i |<e _i (e _i >0) (при i= 1,2,..., n }. Кубическая e-окрестность это параллелепипедная окрестность, у которой все e _i равны e. В дальнейшем полезно следующее утверждение.

Предложение 1. Шаровая e-окрестность точки содержится в параллелепипедной окрестности при e=min{e _i }, кубическая e-окрестность точки содержится в -шаровой окрестности (рис. 1).

Действительно, если r(M,N)<e, то , т.е. вследствие неотрицательности слагаемых  при всех i, а это означает, что | x_i-y_i |<e _i.

Если же | x_i-y_i |<e при всех i, то  т.е. .

Рис. 1

Это предложение позволяет при необходимости заменять вид окрестности точки. Разумеется, вместо e можно использовать и другую букву. e-окрестность точки A (в любом смысле) будем обозначать U_e (A).

Пусть V Ì Rⁿ. Точки пространства распадаются на два вида: принадлежащие и не принадлежащие V. Эта классификация для дальнейшего слишком грубая. Выделим три вида точек.

Определение 1. Точка a Î V называется внутренней точкой V, если некоторая окрестность a входит в V, т. е. точка является внутренней, если не только она сама входит в множество, но и достаточно близкие точки затягивает! Обратите внимание на выделенные слова!

Точка a Î V называется внешнней точкой V, если некоторая окрестность a не пересекается с V.

Наконец, есть точки, которые для V не являются ни внутренними, ни внешними. Они называются граничными. Иначе говоря, a является граничной точкой V, если в любой ее окрестности есть как точки, принадлежащие V, так и точки, не принадлежащие V.

Важное замечание. Граничные точки множества V и его дополнения Rⁿ \ V совпадают.

Приведенная классификация точек позволяет выделить два вида множеств.

Определение 2. Множество V называется открытым, если все его точки внутренние, т.е. ни одна граничная точка не принадлежит V. Множество V называется замкнутым, если все граничные точки входят в V.

Отсюда и из предыдущего следует, что дополнение открытого множества является замкнутым и наоборот.

Следующее понятие использовалось в первой части математического анализа.

Определение 3. Множество V является ограниченным, если оно является подмножеством некоторого шара { N:r(O,N)< r }, здесь O =(0,...,0) - начало координат, r -радиус шара.

Вместо начала координат можно взять любую точку пространства. Изменится только радиус. Прямая на плоскости ограниченным множеством не является.

Определение 4. Замкнутое и ограниченное множество называется компактным.

В частности, отрезок [ a,b ] на прямой компактное множество. Также компактным является объединение конечного семейства отрезков. Компактными являются также шары  и сферы

Шутка из математического фольклора.

Диалог юноши и девушки.

- Ты у меня такая компактная.

- Миниатюрная?

- Нет, замкнутая и ограниченная.

Естественно, следует эмоциональный взрыв...

Для того, чтобы описать следующее свойство, определим (несколько забегая вперед, впрочем, опираясь на первую часть курса) непрерывную кривую, соединяющую точки M,N Î Rⁿ: это набор функций (x ₁(t), x ₂(t),..., x_n (t)), определенных на отрезке [0,1] таких, что (x ₁(0), x ₂(0),..., x_n (0)) это точка M, (x ₁(1), x ₂(1),..., x_n (1)) - точка N.

Определение 5. Множество V называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, расположенной в V. Несвязность означает, что множество распадается на отдельные части. На прямой интервалы и отрезки - связные множества.

 

Вопросы для самопроверки

1. Как измеряется расстояние в многомерном пространстве?

2. Какие виды окрестностей точек рассматриваются в курсе?

3. Как связаны окрестности точек разных видов?

4. Какие точки пространства называются внутренними, внешними, граничными точками данного множества,

5. Какие множества называются открытыми? Замкнутыми?

6. Какие множества называются ограниченными?

7. Какие множества называются компактными?

8. Какие множества называются связными?

 

Упражнения

1. Докажите, что дополнения замкнутых множеств являются открытыми, а открытых - замкнутыми.

2. Какие множества в Rⁿ одновременно являются открытыми и замкнутыми?

3. Приведите пример непустого подмножества плоскости, у которого нет внутренних точек.

4. Может ли множество состоять только из граничных точек?

5. Проверьте, что окрестности являются открытыми множествами.

7. Найдите внутренние, внешние, граничные точки подмножеств плоскости

- {(x,y): x ²+ y ²<1};

- {(x,y): x ²+ y ²£1};

- {(x,y): x ²+ y ²<1, x £0};

- {(x,y): 0< x ²£1};

-{(x,y): 0< x £2p, y =sin x }.

Какие из рассмотренных множеств являются открытыми, замкнутыми ограниченными, компактными, связными?

8. Докажите, что у любого множества есть максимальное по включению открытое подмножество (внутренность множества) и минимальное по включению объемлющее замкнутое множество (замыкание).

9. Проверьте, что шары и сферы компактные множества.