Сместим из равновесия атом с номером n на расстояние Un. По цепочке пройдет волна сжатия. Найдем уравнение движения n -го атома. Пусть его смещение Un (x, t) невелико по сравнению с a, т.е. силы со стороны соседей можно считать квазиупругими и согласно закону Гука они пропорциональны смещениям. Действие силы Гука уравновешивается обычной силой Ньютона. Учтем только ближайшие атомы:
(5.8)
Соответствующее уравнение движения:
(5.9)
Решение (2) ищем в виде бегущей волны:
, (5.10)
где U0 – амплитуда;
;
w – круговая частота.
Подставив (5.10) в (5.9), имеем:
, (5.11)
так как
тогда
(5.12)
Это периодическая функция, w – четная функция k: w 2(k) = w 2(– k) (рис. 5.4).
Рис. 5.4. Зависимость частоты колебаний w цепочки атомов от волнового вектора
Из (5.12) следует, что все атомы колеблются с дискретными частотами w, зависящими от (; ).
(5.13)
, (5.14)
с другой стороны w max» зв × k max = зв ×(p/ a).
w max = 5×103 м/с×1010 м–1 @ 5×1013 с–1.
Из рис. 5.5 видно, что короткие волны распространяются медленнее, чем длинные, из-за инерции масс частиц цепочки. Для длинных волн (k мало) фазовая скорость:
(5.15)
Рис. 5.5. Групповая гр и фазовая скорости распространения колебаний в цепочке атомов
Так как скорость звука зависит от l: (дис-персия), то распространение характеризуется фазовой и групповой гр скоростями:
, (5.16)
при
(5.17)
Фазовая скорость характеризует перемещение фазы колебаний. При малых значениях k: = гр = зв.
Групповая скорость характеризует перемещение вещества или перенос энергии колебаний и при : гр = 0, т.е. при этих условиях образуются стоячие волны и энергия не переносится.
В бесконечной цепочке трудно определить граничные условия, но такую цепочку можно смоделировать кольцом, таким образом, что последний атом n = N находится на расстоянии a от первого n = 1.
Это периодические граничные условия Борна-Кармана (условия цикличности):
Un+N = Un,
т.е. из (5.10)
(5.18)
Это справедливо, если exp(ikNa) = 1, или kNa = 2 pn (n = 0, ±1, ±2,...), т.е.
(5.19)
Таким образом, k – квантуется (N штук) (рис. 5.4).
Границы зоны Бриллюэна: .
Зона Бриллюэна – это интервал значений волновых векторов , содержащий все возможные значения энергии системы, повторяющиеся с периодом .
Число собственных значений k в пределах зоны Бриллюэна равно N – числу атомов или элементарных ячеек в цепочке (число нормальных колебаний).