Пусть – число или один из символов ; ; .
Теорема 1. Предел постоянного равен этому постоянному: .
Если и при имеют конечные пределы, то справедливы следующие теоремы:
Теорема 2. .
Теорема 3. .
Теорема 4. при условии .
Рассмотрим некоторые замечательные пределы.
Пусть ,
(, ).
Тогда
Пример 4.
Пример 5.
называют первым замечательным пределом.
Пример 6.
называют вторым замечательным пределом.
Если в этом равенстве положить (, то ), то оно запишется в виде .
Пример 7.
Пример 8. Найти
Преобразуем выражение в скобках, выполнив деление «уголком» числителя на знаменатель. Получаем . Пусть , тогда и , причем при имеем . Следовательно, .
Некоторые приемы вычисления пределов функций
Для того, чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения этой функции, нужно в выражении функции вместо аргумента подставить его предельное значение.
.
Под знаком предела можно производить тождественные преобразования аналитического выражения, задающего функцию, не принимая во внимание поведение функции в предельной точке. В частности, например, под знаком предела можно производить сокращение дроби на множитель, обращающийся в предельной точке в нуль (но не равный нулю в близи этой точки!).
|
|
Пример 9.
Пример 10.
Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы
,
, где , , – числа, , , – корни квадратного трехчлена. Получаем:
.
Пример 11. Найти
Числитель и знаменатель дроби умножим на выражение, сопряженное числителю, получаем:
.
Пример 12. Найти В данном примере при выяснении вида неопределенности видим, что таковой не имеется.
Имеем , тогда .