Непрерывность функций

Определение: Функция , определенная в точке  и некоторой окрестности, называется непрерывной в точке , если предел функции при  равен значению функции в точке : .

Любая элементарная функция непрерывна в ее области определения.

Определение: Если функция  определена в окрестности точки  (кроме, быть может, самой точки ) и не является непрерывной в этой точке, то ее называют разрывной в точке . В этом случае точку  называют точкой разрыва .

Определение: Функция  называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке интервала. Функция  называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна на интервале  и, кроме того, непрерывна справа в точке  и непрерывна слева в точке .

Для непрерывности функции на отрезке  не требуется непрерывность этой функции на концах отрезка. В точках  и  требуется только односторонняя непрерывность функции для левого конца непрерывность справа, для правого непрерывность слева.

Из определения точки разрыва функции получаем, что точка  является точкой разрыва функции , если выполняется одно из условий: или функция  определена в точке , но не является непрерывной в этой точке, или функция  не определена в точке .

В первом случае  принадлежит области определения функции, во втором случае  не принадлежит области определения функции. Для основных элементарных функций возможен только второй случай.

Пусть  – точка разрыва функции . При этом  называется точкой разрыва первого рода, если функция  имеет конечные пределы справа и слева в этой точке. Во всех остальных случаях  называется точкой разрыва второго рода. Если  – точка разрыва I рода функции , то график этой функции в точке  может иметь лишь конечный скачок. Если же  – точка разрыва I рода функции , то, по крайней мере, один из пределов справа или слева в точке  не существует или равен бесконечности.

Пример 13. Исследовать функцию на непрерывность и построить её график

Эта функция определена на интервалах , , , где она задана непрерывными элементарными функциями. Внутри каждого интервала указанные элементарные функции не имеют точек разрыва, следовательно, разрыв возможен только в точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках   и .

Для точки  имеем:

, , 

Так как , то функция  в точке  имеет разрыв первого рода. Для точки  находим

,

.

Значение функции в самой точке  равно .

.

Так как , то функция  в точке  имеет разрыв первого рода. Изобразим график функции  

 

 

 

Пример 14. Исследовать данную функцию на непрерывность в указанных точках ; , .

Для точки  имеем:

,

,

т.е. в точке  функция  имеет разрыв второго рода (терпит бесконечный разрыв). Для точки  имеем:

,

,

.

Следовательно, в точке  функция  непрерывна.