Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и значения функции на концах отрезка равны, , то на интервале существует точка с, , в которой производная функции равна , .
Геометрический смысл теоремы Ролля: если условия теоремы выполняются, то на интервале существует такая точка , что в соответствующей ей точке касательная к кривой параллельна оси .
Из теоремы Ролля следует важное свойство: между двумя нулями функции находится по крайней мере один нуль ее производной.
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка , такая, что .
Или, что то же, если на некотором отрезке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.
Отношение равно угловому коэффициенту секущей.
Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и на , то существует по крайней мере одна точка , , такая, что , т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению их производных в точке с.
|
|
Следующая теорема, называемая правилом Лопиталя, практически облегчает задачу нахождения этого предела.
Если и дифференцируемы вблизи , непрерывны в точке , производная функции отлична от нуля вблизи и , то предел отношения функций при равен пределу отношения их производных, если последний (конечный или бесконечный) существует:
.
Пример 4.
Найти пределы
а) .
б) .