Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость

Пусть в точке  кривая  имеет касательную, не параллельную .

Определение: Кривая называется выпуклой (вогнутой) в точке , если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже (выше) касательной, проведенной в точке .

Определение: Точка  называется точкой перегиба кривой , если с одной стороны от  кривая вогнута, а с другой стороны кривая выпукла.

Таким образом, если в точке  кривая меняет выпуклость на вогнутость (или наоборот), то точка  является точкой перегиба. Из этого определения непосредственно следует, что касательная в точке перегиба кривой пересекает эту кривую.

Для кривых  можно сформулировать правила исследования на выпуклость, вогнутость и перегиб:

1. Находим точки, в которых  или вторая производная функции  не существует. Такие точки называются критическими точками функции  по второй производной.

2. Эти точки разделят область определения функции  на интервалы, в каждом из которых  сохраняет знак.

Если в рассматриваем интервале , тот это интервал вогнутости, если же , то это интервал выпуклости.

Точки перегиба выделяются автоматически: они разделяют интервалы выпуклости и вогнутости.

Асимптоты  плоских  кривых

Определение: Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неогра­ниченном удалении этой точки по кривой от начала координат или, что то же, когда расстояние точки от начала координат неограниченно растет.

Для того чтобы кривая  имела асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

, .

Если  и  – конечно, то асимптота  – горизонтальная.

Определение: Прямая  называется горизонтальной асимптотой, если существует конечный предел при  равный , т.е.

.

Прямая , если .

Пример 1.

Найти асимптоты кривой .

Область определения функции , т.е.

 – вертикальная асимптота.

Все остальные асимптоты (если они есть) имеют вид . Найдем  и .

 и

,  – асимптота.