Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции в точке

Определение. Функция  называется непрерывной в точке , если:

1) функция  определена в точке  и ее окрестности;

2) существует конечный предел функции   в точке ;

этот предел равен значению функции в точке , т.е.

Замечание. При нахождении предела функции , которая является непрерывной, можно переходить к пределу под знаком функции, то есть

Непрерывность функции на промежутке

Определение. Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывной в этой области.

Функция  называется непрерывной справа в точке , если .

Функция  называется непрерывной слева в точке , если .

Функция  называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция  называется непрерывной на отрезке , если она является непрерывной в интервале , непрерывной справа в точке , то есть  и непрерывной слева в точке , то есть .

Свойства функций непрерывных на отрезке:

1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

Непрерывная на отрезке   функция является ограниченной на этом отрезке.

2. Теорема Больцано-Коши. Если функция  является непрерывной на отрезке  и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть , , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между  и .

Если функция , которая непрерывна на некотором отрезке , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка  такая, что .

Полезные теоремы о непрерывности функции

Теорема. Если функции  и  непрерывны в точке , то функции , , также непрерывны в точке .

Пусть функция  задана на множестве , а  - множество значений этой функции. Пусть на множестве  задана функция . Тогда говорят, что на множестве  задана композиция функций (или сложная функция) .

Теорема. Пусть функция  непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке . Тогда композиция функций непрерывна в точке .

Теорема. Каждая элементарная функция, заданная в окрестности некоторой точки, непрерывна в этой точке.

Приращение аргумента и функции

Рассмотрим функцию , которая определена в некотором интервале  и рассмотрим произвольную точку  из этого интервала: .

Определение. Приращением аргумента  в точке  называется разность

Замечание. Из последнего равенства легко увидеть, что .

Приращением функции  в точке  называется разность соответствующих значений функции  или, используя равенство из выше приведенного замечания, будем иметь:

Теорема. Функция  непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции :