Теорема 4. Два вектора являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.
Доказательство. Необходимость. Следует из определения векторного произведения, т.к. если векторы а и b коллинеарные, то угол между ними равен 0, а sin 0=0.
Достаточность. Пусть a × b =0. покажем, что векторы а и b коллинеарные. Исключим тривиальный случай, когда хотя бы один из векторов или равен 0. Если оба вектора ненулевые, то >0, >0Þиз равенства a × b =0 и (7) следует, что sin j=0, т.е. векторы и коллинеарны. Ч.т.д.
Теорема 5. Длина (модуль) векторного произведения a × b равна площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b.
Доказательство. Следует из (7), т.к. площадь параллелограмма равна S= |а||b| sin(a^b) =| a × b|. Ч.т.д.
Площадь соответствующего треугольника: SΔ=1/2 | a × b|.
|
|
Определение. Ортом произвольного ненулевого вектора с называется единичный вектор, коллинеарный с и имеющий одинаковое с ним направление.
Следствие. Если е – орт векторного произведения a × b, а S – площадь параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b, то для векторного произведения a × b справедлива формула: a × b= S е (8).
Замечание. Из определений орта и векторного произведения вытекает, что тройка abe является правой (т.к. тройка aba × b является правой).
Теорема 6. Если с – некоторый вектор, p - любая содержащая его плоскость, е – единичный вектор, лежащий в плоскости p и ортогональный к с, g – единичный вектор, ортогональный к плоскости p и направленный так, что тройка есg является правой, то для любого лежащего в плоскости p вектора а справедлива формула
a × с =пре а ×| с | g (9)
Доказательство. Достаточно доказать, что векторы, стоящие в левой и правой частях (9): 1) имеют одинаковую длину, 2) коллинеарны, 3) имеют одинаковое направление.
S=| a × с| - площадь построенного на приведенных к общему началу векторах а и с параллелограмма. Длина вектора, стоящего в правой части (9), равна |пре а| ×| с |, т.е. тоже равна S, т.к. если за основание указанного параллелограмма принять вектор с, то высота его h будет равна |пре а|.
Коллинеарность векторов, стоящих в левой и правой частях (9), вытекает из того, что оба эти вектора ортогональны плоскости p (вектор a × с в силу определения векторного произведения, а вектор пре а ×| с | g в силу того, что вектор g по условию ортогонален к плоскости p).
|
|
Проверим, что векторы, стоящие в левой и правой частях (9) имеют одинаковое направление. Векторы a × с и g одинаково направлены (противоположно направлены), когда тройка aсg является правой (левой), т.е. когда векторы а и е лежат по одну сторону (по разные стороны) от с и проекция пре а является положительной (отрицательной), но это и означает, что векторы a × с ипре а ×| с | g всегда одинаково направлены. Ч.т.д.