Поряд із множенням двох векторів, яке приводить до скаляра, розглянемо ще один тип множення векторів, внаслідок якого дістаємо вектор. Таке множення називається векторним.
Векторним добутком двох векторів і називається вектор , який задовольняє таким умовам:
1) Довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , тобто
(37).
2) Вектор перпендикулярний до площини цього паралелограма, тобто перпендикулярний і до вектора , і до вектора :
та (38).
3) Вектори , , , взяті у такому порядку, утворюють праву трійку векторів. Упорядкована трійка некомпланарних векторів називається правою, якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого здійснюється проти обертання годинникової стрілки.
Для векторного добутку вектора на вектор вводиться позначення:
або (39).
Якщо вектори-множники взаємно перпендикулярні, то модуль векторного добутку дорівнює добутку модулів співмножників:
якщо (40).
Якщо вектори-множники колінеарні, то і векторний добуток їх дорівнює нуль-вектору, тобто
|
|
(41).
Закон комутативності для векторного добутку не виконується, або точніше вектор має напрям, протилежний до :
(42).
Властивість сполучності відносно скалярного множника зберігається:
(43).
Властивість розподільності для векторного добутку також зберігається:
(44).
Якщо векторний добуток двох векторів записати у координатній формі, то маємо:
(45).
Приклад 1. Дано: і . Обчислити .
Розв’язання:
Відомо, що . Для того, щоб розв’язати задачу, нам потрібно знайти . З умови маємо: , звідки = . Оскільки >0, то .
З тригонометричної тотожності знаходимо : = = .
Отже, = .
Приклад 2. Трикутник задано вершинами А (1; ‑1; 2), В (5; ‑6; 2), С (1; 3; ‑1). Обчислити довжину висоти, опущеної з вершини В на сторону АС.
Розв’язання:
Знаходимо вектори та Тоді згідно з формулою та формулою (45) дістанемо:
Крім того, , тобто Отже, знаходимо і маємо
Приклад 4. Якій умові повинні задовольняти вектори і , щоб вектори та були колінеарними?
Розв’язання:
Щоб ненульові вектори та були колінеарні, необхідно, щоб модуль їх векторного добутку дорівнював нулеві, тобто
,
Але і , отже звідки або , тобто вектори і повинні бути колінеарними.