2020-10-12
107
Якщо векторний добуток двох векторів 
помножається скалярно на третій вектор 
, то такий добуток трьох векторів називається мішаним (векторно-скалярним) і позначається так:
= 
(46).
Мішаний добуток має просте геометричне тлумачення – це скаляр, який за абсолютною величиною дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних трьох векторах.
Якщо вектори 
, 
, утворюють праву трійку, то мішаний добуток є число додатне, що дорівнює зазначеному об’єму, а якщо трійка , , ‑ ліва, то мішаний добуток – число від’ємне, яке за модулем дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних векторах.
Мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулеві тоді, коли ці вектори компланарні, тобто умова компланарності трьох векторів має вигляд:
(47).
Мішаний добуток не змінюється, якщо має місце переставлення співмножників за колом і змінює знак, якщо в такому переставленні порушено послідовність співмножників:
(48).
Тому мішаний добуток векторів , , іноді позначають простіше, написавши їх поряд у тій послідовності, в якій проводяться дії:
|
|
|
(49).
Помітимо, що якщо в мішаному добутку є два колінеарні вектори, то він дорівнює нулеві.
Якщо векторний добуток двох векторів помножається векторно на третій вектор , то такий добуток називається подвійним векторним добутком і позначається так:
(50).
Для подвійного векторного добутку порушується комутативний і асоціативний закони:
(51),
(52).
Вектор компланарний векторам і ; тому має місце формула:
(53).
Приклад 1. Три вершини тетраедра знаходяться в точках А (2; 1; -1), В (3; 0; 1), С (2; -1; 3). Знайти координати четвертої вершини D, яка належить вісі Оу, якщо об’єм тетраедра дорівнює 3 куб. од.
Розв’язання:
Оскільки точка D належить вісі Оу, то її координати 
(0; у; 0). Об’єм тетраедра ABCD можна розглядати як 
об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах 
як на ребрах:
.
Розв’язуючи це рівняння, дістанемо, що 
отже 
.
Приклад 2. Визначити, якою є трійка векторів , , (правою або лівою), якщо:
1) 
2) 
3) 
Розв’язання:
Знайдемо мішаний добуток трьох заданих векторів. Якщо цей добуток не буде дорівнювати нулеві, то вектори , , будуть некомпланарні. Якщо при цьому 
то трійка , , ‑ права, а якщо 
то – ліва.
1) 
звідси видно, що трійка векторів права;
2) 
тобто вектори компланарні;
3) 
тобто трійка векторів ліва.
Приклад 3. Довести, що чотири точки 
лежать в одній площині.
Розв’язання:
Для того, щоб довести, що чотири точки лежать в одній площині, достатньо довести, що три вектора, початком яких є деяка з даних чотирьох точок, а кінцями є інші три точки, лежать в одній площині, тобто, що ці три вектори компланарні. За спільний початок векторів виберемо точку А, тоді:
|
|
|
Вектори 
будуть компланарними тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулеві.
= ‑2+12‑8‑2=0.
Отже, одержали, що вектори компланарні, тому точки A, B, C, D належать одній площині.
Приклад 4. Задана піраміда з вершинами в точках А (1; 2; 3), В (‑2; 4; 1), С (7; 6; 3), D (4; ‑3; ‑1). Знайти:
а) довжину ребер ;
б) площу грані АВС;
в) кут між ребрами 
і 
;
г) об’єм піраміди;
д) довжину висоти, опущеної на грань АВС.
Розв’язання:
а) Знайдемо вектори .
Знайдемо модулі цих векторів:
б) Площа грані АВС буде дорівнювати:
в) Кут між ребрами і знайдемо за формулою:
г) Об’єм піраміди обчислимо за формулою:
д) Довжину висоти h, опущеної на грань АВС, можна знайти, користуючись формулою:
звідки 
Таким чином 
.
