Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть производится испытание, об условиях которого можно сделать n взаимно исключающих предположений: …………………………………………

……………...……………………….

………………………………………

……………………………………....

Поскольку заранее неизвестно, какое из событий H_i произойдет, эти события называют гипотезами. Предполагается, что вероятности гипотез известны и равны соответственно ……………………………………………

Тогда любое рассматриваемое событие A может произойти только одновременно с осуществлением одной из гипотез H ₁, H ₂,…, H_n. То есть

…………………………………………………………………….

Поскольку события A Ç H ₁, A Ç H ₂,…, A Ç H_n –...............................................,

.............................................................................................................

Применив теорему умножения вероятностей, можно записать:..............................................

Таким образом, приходим к формуле полной вероятности, позволяющей определить «полную» вероятность события A через известные условные вероятности события A при гипотезах H_i:

…………………………………………………………………………………..

Если известно, что в результате опыта произошло событие A, то новые, апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез можно определить по формуле Байеса:

……………………………………………………………...

Т.е. формула Байеса позволяет.................................................................................................................................................................................................................

Пример 10. На складе автотранспортного предприятия имеются однотипные запчасти трех производителей, причем доля запчастей производителя А составляет 40%, производителя В – 45% и производителя С – 15%. Известно, что гарантийный срок обычно выдерживают 70% деталей производителя А, 80% изделий производителя В и 95% изделий производителя С. Из имеющихся запчастей произвольным образом выбирается одна. а) Какова вероятность того, что она выдержит гарантийный срок? б)Выбранная запчасть безотказно проработала до конца гарантийного срока. Определить вероятность того, что она была поставлена производителем А.