Решение

а) введем матрицы

1 2 1 х₁ 8

А= -2 3 -3; Х= х₂ ; В= -5

3 -4 5 х₃ 10

В матричной форме решение имеет вид Х=А^-1В. Найдем обратную матрицу в соответствии с алгоритмом:

1.Определитель матрицы А

1 2 1

∆= -2 3 -3 = 4 ≠0

3 -4 5

Обратная матрица существует.

2. Составляем матрицу из алгебраических дополнений определителя матрицы.

3 -3 -2 -3

А₁₁= =15-12=3; А₁₂= = 1, и т.д. А₁₃= - 1

-4 5 3 5

А₂₁= -14 А₂₂= 2 А₂₃=10

А₃₁= -9 А₃₂= 1 А₃₃= 7

3.Присоединённая матрица имеет вид

3 -14 -9

Ã= 1 2 1

-1 10 7

4. А^-1=* Ã

Подставим А^-1 в (3.2.5)

Х₁ 3 -14 -9 8 24+70-90 1

Х₂ = 1 2 1 5 = 8 -10+ 10 = 2

Х₃ -1 10 7 10 -8-50+70 3

Решение системы: х₁=1; х₂=2; х₃=3.

б) Определитель системы ∆=5

Находим определители ∆₁, ∆₂, ∆₃.

8 2 1 1 8 1 1 2 8

∆₁= -5 3 -3 =4; ∆₂= -2 -5 -3 =8; ∆₃= -2 3 -5 =12

10 4 5 3 10 5 3 -4 10

По формулам Крамера (3.2.4) определяем

х₁= ; х₂ = ; х₃= = = 3

В конце целесообразно сделать проверку, подставив найденные значения Х_j в уравнения системы.

Решение систем матричным способом или по правилу Крамера имеет ряд недостатков:

1.Область применения этих способов ограничена условием m=n (число уравнений совпадает с числом неизвестных). В то же время решение практических задач (в экономике в том числе), как правило, приводит к необходимости решения систем, когда число неизвестных n достаточно велико, и m≠n.

2.При выполнении условия m=n матрица системы должна быть невырожденной (│А│=∆≠0).

3.Даже при выполнении условия 2-го условия (m=n, ∆≠0) вычисление определителей и отыскание обратной матрицы связаны с громоздкими вычислениями.