2014-02-05
746
Определение. Характеристической функцией 
случайной величины 
называется комплекснозначная функция, определенная при 
соотношением
. (1)
Пусть 
— функция распределения случайной величины, тогда формулу (15.1) можно записать в виде
.
В случае существования плотности 
случайной величины эту формулу можно переписать следующим образом
. (2)
Непосредственно из определения вытекают свойства характеристической функции:
1) 
, 
для всех действительных 
.
2) 
.
3) — равномерно непрерывная функция на всей числовой оси.
4) Характеристическая функция положительно определена, т.е. для любых действительных чисел 
и любых комплексных чисел 
.
5) Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Действительно, пусть 
— характеристическая функция случайной величины , 
— случайной величины 
, тогда характеристическая функция их суммы 
равна
.
6) Если 
, где 
и 
— некоторые постоянные, то 
.
Не сложно видеть, что 
.
7) Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины.
Если случайная величина абсолютно непрерывна, выражение (2) есть преобразование Фурье функции 
. Для абсолютно непрерывной величины плотность восстанавливается по ее характеристической функции следующим образом:
.
Зная характеристическую функцию дискретной целочисленной случайной величины , такой что 
, можно восстановить ее распределение. Не трудно видеть, что справедливы равенства:
В силу того, что 
, имеем
.
Таким образом, закон распределения восстановлен.
Еще одно важное свойство характеристических функций сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Если существует абсолютный начальный момент порядка 
, то функция имеет непрерывных производных и справедливо равенство
.
При этом имеет место соотношение
, (3)
здесь 
и 
при 
.
Доказательство. В силу того, что 
, интеграл
равномерно сходится по . Следовательно
, 
.
Далее, используя метод математической индукции, получим требуемое в теореме равенство
.
Запишем разложение функции 
в ряд Тейлора в окрестности нуля с остаточным членом в форме Лагранжа
,
здесь 
, 
. Поэтому
.
Таким образом,
,
где 
. Не трудно видеть, что . Из теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла следует, что при .
