Пример 3

Пример 2

-1+3/2-1/3+3/4-1/5+3/6-1/7+…+(-1)ⁿ+… - зн. чер. ряд, |an|®0, но не монотонно. Можно док-ть, что ряд расх-ся (пр-к Лейбница не выполнен).

Найти сумму ряда S=1-1/2³+1/3³-…+(-1)^n-1+… с точностью до e=0,01. Это ряд лейб. типа и потому сх-ся. В кач. Приближённого значения S возьмём S_n c таким числом n слагаемых, чтобы остаток ряда |r_n|=|a_n+1+a_n+2+…|<e, согл. следствию 3.5. |r_n|£|a_n+1|, поэт. достаточно потребовать |a_n+1|<e и тогда |r_n|<e, |a_n+1|<eÛ<0,01, при n=4 это выполняется, поэт. возьмём S₄=1-1/2³+1/3³-1/4³ » 0,896, S » 0,896.

15. Свойства сходящихся рядов.

Обычные св-ва конеч. сумм – сочетательность, перем-ть не перенос. автом-ки на суммы рядов, т.к. при вычисл. суммы ряда добавл. новая операция переход к пределу.

Теор О сочетательности сх-ся ряда.

Сх-ть и сумма сх-ся ряда сохр-ся, если произв. образом объед. члены ряда в группы, сохраняя порядок членов: (а1+а2+…+аn)+(a_n+1+a_n+2+a_n+3)… (b_k сх-ся к т.ж. сумме, что иan). Соч-ть в обр. порядке вообще говоря не имеет места. Напр.: (1-1)+(1-1)+…=0+0+… сх-ся: S=0, а после опускания скобок расх-ся (S1=1,S2=0,S3=1,S4=0; {Sn} не имеет предела).

16.Теор Дирихле о перестановочности абс. сх-ся ряда.

У абс. сх-ся ряда сх-ть и сумма сохр-ся при любой перест. членов.

1Без док-ваg

Теор Римана о неперестановочности неабс. сх-ся ряда.

В неабс. сх-ся ряде всегда можно так перест. члены, что ряд будет сх-ся к любой заранее ук-ой сумме и даже расх.

oМожно док-ть, что 1-1/2+1/3-1/4+…=ln 2, а после перестановки 1-1/2-1/4+1/3-1/6-1/8+1/5-1/10-1/12+1/7-…= 2ln 2. Т.о. неабс. сх-ть осущ-ся искл. благодаря взаим. Погашению пол-х и отр-х членов и именно потому зависит от порядка расположения этих членов. А когда абс. сх-ть зависит только от быстроты убывания членов, а от их порядка не зависит.n

17. Функциональные ряды. Равном. сх-ть.

Функциональный ряд u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…= u_n(x) (1), где u_n(x) – ф-ии с некот. общей областью определения Х, при каждом конкретном хÎХ предст. собой числовой ряд, кот-й может сходиться или расх-ся.