Лекция 19 Примеры решения стационарного уравнения Шредингера

Основные выводы.

1. Примеры решения стационарного уравнения Шредингера

1.1. Частица в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l. (U отвечает требованиям: U = 0 при 0< x < l; U = ∞ при х = 0 и х = l.) Решение существует при (значениях энергии , где n = 1,2,3.... Эти значения Е_п называются собственными значениями энергии, а соответствующие им решения ψ_п — собственными функциями.

1.2. Гармонический осциллятор имеет потенциал . Ему соответствует уравнение Шредингера . Это уравнение имеет решения при дискретных значениях энергии , п = 0, 1, 2...

1.3. Прохождение частицы через потенциальный барьер высотой U _о и шириной l при энергии частицы Е меньшей высоты потенциального барьера U _o (туннельный эффект).

В одномерном случае необходимо решить уравнение Шредингера при условиях: U = 0 при х < 0; U = U _oпри 0≤ x ≤ l; U = 0 при х > l.

Коэффициент прозрачности туннельного аффекта: .

2. Уравнение Шредингера для атома с потенциальной кулоновской энергией U = – Ze ² /r в сферической системе координат r, θ, j

имеет решения при собственных значениях энергии ,где п =1,2,3.... Соответствующие собственные функции ψ_n,l,v(r,θ,j) содержат три целочисленных параметра n, l, m. При этом n определяет энергию электрона, l — его орбитальный момент и m — магнитное квантовое число определяет проекцию орбитального момента на выбранную ось.

Электрон обладает собственным моментом импульса, который носит название спин. Проекция спина на любую ось может принимать два значения +и –. Состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами: главное n (n = 1, 2,3...), орбитальное l (l = 0,1, 2... n –1), магнитное m (m = – l, – l + 1...0... + l), проекция спина S (S =+, –)

3. Принцип запрета Паули:

В любой квантовой системе, в том числе в атоме, не может находится двух и более электронов с одинаковыми квантовыми числами n, l, m и S.

4. Уравнение Шредингера и принцип запрета Паули позволяют объяснить периодический закон Менделеева — периодическую зависимость химических свойств элементов от атомного номера Z. Атомный номер определяет количество электронов в атоме и заряд атомного ядра. При данном n (на данном энергетическом уровне) может находится не более 2 n ² электронов. Электроны с одинаковым n образуют оболочку. Обозначаются оболочки буквами К, L, М, N... для n = 1, 2, 3, 4... С увеличением Z происходит заполнение оболочек. При этом на К-оболочке не может находится более 2 электронов, на L—оболочке — более 8 электронов и т.д. Электроны, находящиеся на высшей оболочке называются валентными и определяют химические свойства элементов. Число их периодически повторяется, что и объясняет периодическую повторяемость химических свойств элементов.