Построение доверительного интервала для МО СВ

I.При известной дисперсии.

Рассмотрим оценку МО m_x нормально распределенной СВ Х с известной дисперсией s²: . Если СВ Х распределена по нормальному закону, то выборочное среднее будет также распределено по нормальному закону с МО и дисперсией :

. Введем СВ , которая имеет нормированное нормальное распределение с нулевым МО и единичной дисперсией. Тогда вероятность Р=1-a того, что СВ t (рис.18) не отклонится от своего МО на величину, больше чем t_a/2 находится по формуле Р{-t_a/2<u< t_a/2}=Ф*(t_a/2)- Ф*(-t_a/2)= =1-a.

Рис.18

Принимая во внимание, что функция распределения Ф*(t) связана с функцией Лапласа Ф(t) соотношениями (рис.18): Ф(t)=0,5+ Ф*(t), Ф(t)=0,5- Ф*(t), получим

Р{-t_a/2<u< t_a/2}=2Ф(t_a/2)=1-a. Поскольку функция Ф(t) непрерывна и возрастает на интервале [0,¥) от 0 до 0,5, то для любого числа a, удовлетворяющего неравенству 0<1-a<1, существует единственное число t_a/2 такое, что Ф(t_a/2)=1/2(1-a). Для заданной вероятности Р=1-a по таблице значений функции Лапласа Ф(t) можно найти соответствующее значение t_a/2.

С надежностью Р=1-a можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр m_x с точностью

Т.о., доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее определенной, близкой к 1, вероятностью утверждать, что он содержит не известное нам истинное значение параметра m_x:

. Из этого соотношения видно что, чем точнее при данном значении s мы хотим оценить среднее значение, тем больше n экспериментов необходимо провести. С увеличением надежности (уменьшением a) доверительный интервал расширяется, т.е. точность уменьшается. Если задать точность D и вероятность a, то можно найти минимальный объем выборки n, который обеспечит заданную точность D: . Поскольку концы интервала представляют собой СВ, то их называют также доверительными границами. Если величина Х распределена не по нормальному закону распределения, то поскольку величина представляет собой сумму независимых, одинаково распределенных СВ, согласно предельной теореме при достаточно больших n (n³30) ее закон распределения близок к нормальному.

II.При неизвестной дисперсии:

Рассмотрим оценку МО m_x нормально распределенной СВ Х с неизвестной дисперсией s²: . Для оценивания дисперсии s² используем оценку . Величина , при этих условиях имеет место t-распределение (распределение Стьюдента) с числом степеней свободы k=n-1. Для нахождения доверительного интервала значения m_x задаемся надежностью Р=1-a по таблице t-распределения для уровня значимости a/2 (соответствующего односторонней критической области см. рис. 18), из условия P{½t½<t_a/2}=1-a определяем значение t_a/2 и строим доверительный интервал:

.