По правилу сложения

На основе вышеизложенной трактовки событий как множеств сформулируем аксиомы теории вероятностей. Пусть каждому событию А ставится в соответствие некоторое число, называемое вероятностью события. Вероятность события А будем обозначать Р(А). Так как любое событие есть множество, то вероятность события есть функция множества.

Определение вероятности. Правило суммы.

Потребуем, чтобы вероятности событий удовлетворяли следующим аксиомам:

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей:

0 £ Р(А) £ 1

2. Если А и В несовместные события (АВ=Æ), то

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Эта аксиома легко обобщается (с помощью сочетательного свойства сложения) на любое число событий: если А_iА_j = Æ при i ¹ j, то

,

т. е. вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Аксиому сложения вероятностей иногда называют «теоремой сложения» (для опытов, сводящихся к схеме случаев, она может быть доказана), а также правилом сложения вероятностей.

3. Если имеется счетное множество несовместных событий A₁, A₂,..., A_n,... (A_iA_j = Æ при i ¹ j), то

Третью аксиому приходится вводить отдельно, так как она не выводится из второй.

Правило сложения вероятностей имеет ряд важных следствий. В качестве одного из них докажем, что сумма вероятностей полной группы несовместимых событий равна единице, т.е. если

то

S P(A_i) = 1.

Действительно, так как события A₁, A₂,..., A_n несовместны, то к ним применимо правило сложения:

= ∑ P(A_i) = P(Ω) = 1.

Противоположным по отношению к событию А называется событие Ā, состоящее в не появлении А и, значит, дополняющее его до Ω.

Примеры

1) опыт – выстрел по мишени:

А – попадание в мишень

Ā – непопадание в мишень

2) опыт – подбрасывание игрального кубика:

А – появление четной цифры

Ā – появление нечетной цифры

3) опыт – подбрасывание монеты

А – герб

Ā – цифра

В частности, если два события А и Ā противоположны, то они образуют полную группу несовместных событий и

P(A) + P(Ā) = 1,

т.е. сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Это свойство противоположных событий очень широко применяется в теории вероятностей. Часто бывает проще вычислить вероятность противоположного события Ā, чем вероятность интересующего нас события А. Тогда вычисляют P(Ā), вычитают ее из единицы и находят:

P(A) = 1 – P(Ā).

Выведем еще одно следствие правила сложения. Если события А и В совместны (АВ ¹ Æ), то

Р (А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Докажем его. Представим событие А + В как сумму трех несовместных вариантов.

А + В = {А, но не В} + {В, но не А} + АВ =

= АB̅ + ВĀ + АВ.

Р (А + В) = Р(А B̅) + Р(ВĀ) + Р(АВ).