А3 – попадание в 3-м выстреле

Заметим, что если имеется несколько событий

A₁, A₂, …, A_n,

то их попарная независимость (т.е. независимость любых двух событий A_i и A_j с разными индексами) еще не означает их независимости в совокупности.

Задача. Стрелок производит 3 выстрела по одной мишени. Вероятность попадания в каждом выстреле одинакова и равна 0.9.

Найти вероятность того, что в мишени будет:

а) 0 пробоин (событие – А);

б) 1 пробоина (событие – В);

в) 2 пробоины (событие – С);

г) 3 пробоины (событие – D).

Найти Р(А); Р(В); Р(С); Р(D).

Обозначим

А₁ – попадание в 1-м выстреле

А₂ – попадание во 2-м выстреле события независимы

D = А₁·А₂·А₃ Р(D) = Р(А₁)·Р(А₂)·Р(А₃) = 0.9³ = 0.729

А = Ā₁ · Ā₂ · Ā₃ Р(А) = Р(Ā₁) · Р(Ā₂) · Р(Ā₃) =

= (1 – 0.9)³ = 0.001

В = А₁· Ā₂ ·Ā₃ + Ā₁ ·А₂· Ā₃ + Ā₁ · Ā₂ ·А₃

Р(В) = 3·0.9·0.1² = 0.027

С = А₁· А₂ · Ā₃ + А₁· Ā₂ ·А₃ + Ā₁ ·А₂·А₃

Р(С) = 3·0.9²· 0.1 = 0.243

Р(А) + Р(В) + Р(С) + Р(D) =1

Модели надежности технических систем.

Под надежностью системы будем понимать вероятность ее безотказной работы за некоторый промежуток времени T.

Надежность системы с последовательным соединением элементов.

Последовательным соединением элементов называется такое соединение элементов при котором входом каждого следующего элемента является выход предыдущего.

Будем считать, что при последовательном соединении элементов система находится в работоспособном состоянии только тогда, когда работают все ее элементы (отказ системы наступает тогда, когда отказывает хотя бы один элемент системы).

Обозначим Р – надежность всей системы, р_i – надежность i – го элемента. Определим значение Р.

Модель системы из n последовательно соединенных элементов

События

А – безотказная работа системы. Р = Р(А)

А_i – безотказная работа i-го элемента. Р(А_i)=р_i

А = А₁А₂...А_i...А_n

А₁, А₂,...,А_i,...,А_n – события независимые, значит

Р(А) = Р(А₁)Р(А₂)...Р(А_i)...Р(А_n),

или в сокращенном виде:

Р =

Надежность системы с параллельным соединением элементов.

Параллельным соединением элементов называется такое соединение элементов при котором все элементы имеют общий вход и общий выход.

Будем считать, что при параллельном соединении элементов система выходит из строя, если не работают все ее элементы.

Модель системы из n параллельно соединенных элементов

Обозначим:

А – система работоспособна.

Ā – система отказала

А_i – безотказная работа i-ого элемента

Ā_i – отказ i-го элемента

Р(Ā_i) = 1 – Р(А_i)

Р(Ā_i) = 1 – р_i

Ā =Ā₁Ā₂... Ā_i... Ā_n

Ā₁, Ā₂,... Ā_i,... Ā_n – события независимые.

Р(Ā) = Р(Ā_i) = [1 – Р(А_i)]

Р(А) =1 – Р(Ā)

Р = 1 – (1 – р_i)

Надежность системы содержащей и последовательно, и параллельно соединенные элементы.

Для определения надежности такой системы необходимо:

· разбить систему на несколько подсистем таким образом, чтобы они были соединены между собой либо последовательно, либо параллельно;

· определить надежность каждой из полученных подсистем;

· используя соответствующую формулу для последовательно или параллельно соединенных элементов определить надежность всей системы.

Если получаемые подсистемы будут включать как последовательное, так и параллельное соединение элементов, то для определения их надежности применяют ту же процедуру, что и для определения надежности всей системы.

Задача. Определить надежность системы Р по заданной надежности отдельных элементов.