Типовые случайные воздействия

Рис. 5.8.

Рис. 5.7.

Рис. 5.6.

Спектральная плотность связана с корреляционной функцией следующим выражением (по теореме Хинчина-Винера):

(5.20)

или

(5.21)

Если разложить множители и с помощью формулы Эйлера и учесть, что , и являются четными функциями, а - нечетная функция, то выражения (5.20), (5.21) можно преобразовать к следующему виду:

(5.22)

(5.23)

Выражения (5.23), (5.24) применяют в практических расчетах. Нетрудно заметить, что при выражение (5.24) определяет дисперсию стационарного случайного процесса.:

(5.24)

Соотношения, связывающие корреляционную функцию и спектральную плотность, обладают всеми присущими преобразованию Фурье свойствами и определяют следующие сравнительные характеристики: чем шире график , тем уже график , и наоборот, чем быстрее убывает функция , тем медленнее уменьшается функция . Эту взаимосвязь иллюстрируют графика на рис (5.7), (5.8)

Линии 1 на обоих рисунках соответствуют медленно меняющемуся случайному сигналу, в спектре которого преобладают низкочастотные гармоники. Линии 2 соответствуют быстроменяющемуся сигналу, в спектре которого преобладают высокочастотные гармоники.

Если случайный сигнал изменяется во времени очень резко и между его предыдущими и последующими значениями корреляция практически отсутствует, то корреляционная функция имеет вид дельта-функции (линия 3). График спектральной плотности в этом случае представляет горизонтальную прямую в диапазоне. Это указывает на то, что амплитуды гармоник во всем диапазоне частот одинаковы. Такой сигнал называется белым шумом (по аналогии с белым светом, у которого, как известно, интенсивность всех компонент одинакова).

Понятие «белого шума» является математической абстракцией. Физически сигналы в виде белого шума неосуществимы, так как бесконечно широкому спектру соответствует бесконечно большая дисперсия, а следовательно, бесконечно большая мощность. Однако часто реальные системы с конечным спектром можно приближенно рассматривать как белый шум. Это упрощение правомерно в тех случаях, когда спектр сигнала значительно шире полосы пропускания системы, на которую действует сигнал.

Реальные случайные воздействия, влияющие на промышленные объекты управления, разнообразны по своим свойствам. Но, прибегая к при математическом описании к некоторой идеализации, можно выделить ограниченное число типовых случайных воздействий:

1. случайное воздействия типа «белый шум»;

2. случайный ступенчатый сигнал;

3. случайный сигнал, имеющий скрытую периодическую составляющую;

5.2.1. Случайное воздействия типа «белый шум»

Белый шум с ограниченной спектральной плотностью является простейшим типовым воздействием. Для него характерны резкие всплески и быстрые переходы от одного значения к другому (Рис. 5.9).