Дифференциалы высших порядков. Диф порядка ф y=f(x) наз диф от дифференциала (n-1)ого порядка этой ф,т.е y=d(y)Найдём выражение

Диф порядка ф y=f(x) наз диф от дифференциала (n-1)ого порядка этой ф,т.е y=d(y)Найдём выражение . По опредсист. Ур-ий:

=

Пр:Найти ф-ции у=у(х),заданной параметрически:

a=const ===-

50.Основные теоремы диф-ого исчисления

Теор Ролля: Пусть для f: [a,b]→𝑅 выполняется:

1)f(x) непрерывна на [a,b]

2) f(x) диф-ма на (а,в)

3)f(a)=f(b),тогда сущ-ет т.(а,в),такая что f()=0т.е сущ-ет касателная к кривой у= f(x)║оси х

Теор Коши для диф-мых ф-ций

Пусть f: [a,b]→𝑅 и g: [a,b]→𝑅 удовл условия:

1)f(x),g(x) непрерывны на (а,в)

2) f(x),g(x) диф-мы на [a,b], тогда сущ-ет т.(а,в),такая что

Док-во:рассмотрим вспомогательную ф

(*)h(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)

h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)= f(b)g(a)-f(a)g(a)-g(b)f(a)+g(a)f(a)=f(b)g(a)-g(b)f(a)

h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(a)-g(b)]f(b)= f(b)g(b)-f(a)g(b)-g(b)f(b)+g(a)f(b)=f(b)g(a)-g(b)f(a)

h(a)=h(b)удовл всем усл. Т.Ролля,тогда сущ-ет т.(а,в),такая что а’(Ѯ)=0

диф выр-ие (*)[f(b)-f(a)]g’(Ѯ)-[g(b)-g(a)]f ’(Ѯ)=0

Теор Лагранжа: Пусть для f: [a,b]→𝑅 выполняется:

1)f(x) непрерывна на [a,b]

2) f(x) диф-ма на (а,в),тогда сущ-ет т.(а,в),такая что

f(b)-f(a)=f ’(Ѯ)(b-a)-формула Лагранжа

Док-во: Положим g(x)≡x по т.Коши

Геом интерпритация:касательная ║хорде tg совпадает

Теор:Формула Коши

Пусть f: [a,b]→𝑅 и g: [a,b]→𝑅 удовл условия:

1)f(x),g(x) непрерывны на [a,b]

2) f(x),g(x) диф-мы на (а,в)

3)Для всех х(а,в) выполняется g’(х)≠0, тогда сущ-ет т.(а,в),такая что =

Док-во:по т.Коши для диф-мых ф сущ-ет т.Ѯ такая, что

[f(b)-f(a)]g’(Ѯ)-[g(b)-g(a)]f ’(Ѯ),где g’(Ѯ)≠0

Мы утв g(b)-g(a)≠0,предположим,что это не так, то вып усл по т.Ролля сущ-ет т.х(а,в) и g’(х)=0, что не удовл нашей теории, тогда g(b)-g(a)≠0 =чтд