Определение. Степенным рядом наз-т функц-й ряд (*) Если то имеем ряд (**)
В дальнейшем будем рассматривать ряды вида (**), т. к. они сводятся к рядам вида (*) подстановкой
Теорема Абеля. Если степенной ряд (**) сходится в точке то он сходится абсолютно в интервале
Док-во. Т. к. ряд сходится, то Тогда Запишем (**) так: Ряд из абсолютных величин сходится т. к. Значит ряд (**) сходится абсолютно.
Следствие. Если ряд (**) расходится при то он расходится
Обл-ть сходимости. Возможны три случая:
1) Обл-ть сходимости состоит только из одной точки
Пример. Действ-но
2) Обл-ть сходимости
Пример. Действ-но и для члены ряда меньше сходящейся геом-й прогрессии.
3) Область ограничена.
Пример.
Определение. Радиусом сходимости степ-го ряда (**) наз-ся такое число ряд сходится, - расходится.
Интервал наз-ся интервалом сходимости.
В первом примере во втором - в третьем -
Для определения радиуса сходимости нужно исследовать ряд. Рассмотрим ряд Применим признак д’Аламбера Тогда Если то применяя радикальный признак Коши получим
|
|
Рассмотрим ряд Применяя признак д’Аламбера, получим
Рассмотрим ряд где произв-ая ф-я аргумента . Для определения обл-и сходимости применяют признак д’Аламбера.
Пример 1.
Пример 2. - ряд расходится, - ряд сходится условно. Окончательно
Пример 3. - ряд сходится, - ряд сходится,
Пример 4.
- ряд сходится условно, - ряд расходится,