Пусть функция определена в области G и точка . Дадим абсциссе приращение , тогда функция z получит приращение , которое называется частным приращением по x функции в точке .
Частной производной по x функции в точке называется предел отношения частного приращения по x функции в точке к приращению при стремлении к нулю.
Обозначают частную производную функции z по переменной x ,, .
Таким образом,
Аналогично определяются частное приращение по y функции в точке : и частная производная по y функции в точке :
(обозначают также , ).
Заметив, что вычисляется при неизменном y, а – при неизменном x, можно сделать вывод: правила вычисления частных производных совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной, но при вычислении полагают , а при вычислении полагают .
Примеры:
1) ;
;
.
2) ; ; .
Для функции одной переменной производная n–го порядка определялась следующим образом: . Аналогично определяются и частные производные высших порядков.
Частной производной n–го порядка функции нескольких переменных называется частная производная первого порядка от частной производной (n–1)–го порядка той же функции.
|
|
При этом учитывается, что производные можно вычислять по различным переменным. Так, функция двух переменных имеет две частных производных 1–го порядка: и , четыре частных производных 2–го порядка:
, , , , восемь частных производных 3–го порядка (от каждой из четырех производных 2–го порядка можно найти производную как по x, так и по y), например, , .
Частные производные высших порядков обозначают также , , , , , . Частная производная 2–го или более высокого порядка, взятая по нескольким различным переменным, называется смешенной частной производной.
Справедлива теорема:
Две смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности.
Так,
Пример. Показать, что
Решение.