ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ.
Все выше приведенные шаги исследования поведения функции удобно выполнять по следующим этапам.
1. Исследуется сама функция у = у (х).
2. Исследуется первая производная у'.
3. Исследуется вторая производная у''.
Исследуем поведение функции у = х + 2 + 1\х и построим ее график.
Решение:
1. Преобразуем функцию: у = х2 + 2х + 1 п х. х
2. О.О.Ф.: вся ось Ох, кроме точки х = 0.
В окрестности точки х = 0 (в окрестности вертикальной асимптоты), функция ведет себя как 1\х, т.е. основным становится третье слагаемое в выражении для у.
Проверим наличие наклонных асимптот.
|
|
к = ℓim у(х) = ℓim х2 + 2х + 1 = ℓim(1 + +)=1.
х→ - ∞ х х→ - ∞ х · х х→ - ∞
Аналогично найдем ℓim у(х) = 1.
х→ + ∞х
Таким образом, при х→ - ∞ и при х→ + ∞ функция имеет асимптоты.
Вычислим теперь свободный член в соответствии (1):
в = ℓim [у(х) – кх] = ℓim х2 + 2х + 1 – 1 · х =
х→ - ∞ х→ - ∞ х
= ℓim (х + 2 + 1\х – х) = 2.
х→ - ∞
Аналогично найдем ℓim [у(х) – кх] = 2.
х→ + ∞
Следовательно, функция имеет общую наклонную асимптоту для х→ - ∞ и для х→ + ∞. Ее уравнение есть у = х + 2.
3. Никаким типом четности функция не обладает, она также непериодическая.
4. Корни функции найдем, решив уравнение х2 + 2х + 1 = 0.
х
Числитель этого выражения, следовательно, и сама функция, имеет единственный кратный корень х = -1.
Рисуем систему координат и заносим на нее найденные асимптоты.
5. Выясним области знакопостоянства функции. Учтем, что для аргумента х найдено два характерных значения:
х = -1 – корень (кратный),
х = 0 – вертикальная асимптота.
Переходим к анализу первой производной.
|
у' = 1 –.
Видим, что у' = 0 при х = ± 1. Эти две точки подозрительны на экстремум. Причем, у(-1) = 0, у(1) = 4.
Составим таблицу:
х | х < -1 | -1 | -1 < x < 0 | 0 < x < 1 | х > 1 | |
у' | + | - | - | + | ||
у | ||||||
max | min |
6. Исследуем поведение второй производной.
у'' = 2\х3.
Отсюда видим, что у'' < 0 при х < 0. Т.е. в области отрицательных значений аргумента график функции имеет выпуклость вверх (таблица 2).
Если х > 0, то у'' > 0. Теперь выпуклость обращена вниз.
7. Дополним таблицу данными второй производной и дополнительными точками из промежутков знакопостоянства.
х | х<-1 | -1 | -1<x<0 | 0<x<1 | х>1 | -2 | -1\2 | 1\2 | ||
у' | + | - | - | + | 3\4 | -3 | -3 | 3\4 | ||
у'' | - | - | + | + | ||||||
у | -1\2 | -1\2 | 4,5 | 4,5 | ||||||
max | min |
8. Приступаем к построению графика функции…
|
|