Пример определения положений равновесия и исследования их устойчивости

Рис.78

Рассмотрим механическую систему, состоящую из трубки AB, которая стержнем OO₁ соединена с горизонтальной осью вращения, и шарика, который перемещается по трубке без трения и связан с точкой A трубки пружиной (рис.78). Определим положения равновесия системы и оценим их устойчивость при следующих параметрах: длина трубки l₂= 1м,длина стержня l₁= 0,5м. длина недеформированной пружины l ₀ = 0,6 м, жесткость пружины c = 100 Н/м.Масса трубки m ₂ = 2 кг, стержня - m ₁ = 1 кги шарика - m ₃ = 0,5 кг. Расстояние OA равно l ₃= 0,4 м.

Запишем выражение для потенциальной энергии рассматриваемой системы. Она складывается из потенциальной энергии трех тел, находящихся в однородном поле силы тяжести, и потенциальной энергии деформированной пружины.

Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести равна произведению веса тела на высоту его центра тяжести над плоскостью, в которой потенциальная энергия считается равной нулю. Пусть потенциальная энергия равна нулю в плоскости, проходящей через ось вращения стержня OO ₁, тогда для сил тяжести

Для силы упругости потенциальная энергия определяется величиной деформации

Найдем возможные положения равновесия системы. Значения координат в положениях равновесия есть корни следующей системы уравнений.

(5)

Подобную систему уравнений можно составить для любой механической системы с двумя степенями свободы. В некоторых случаях можно получить точное решение системы. Для системы (5) такого решения не существует, поэтому корни надо искать с помощью численных методов.

Решая систему трансцендентных уравнений (5), получаем два возможных положения равновесия:

Для оценки устойчивости полученных положений равновесия найдем все вторые производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам и по ним определим обобщенные коэффициенты жесткости.