Таблица дифференциалов
1. ;
2. , в частности, ;
3. , в частности ;
4. , если у = f (x);
5. , если у = f (u), u = φ (x);
6. dc = 0;
7. ;
8. , в частности, ;
9. , в частности, ;
10. ; 16. ;
11. ; 17. ;
12. ; 18. u du;
13. ; 19. u du;
14. ; 20. ;
15. ; 21. .
Пусть у = f (x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f '(x) dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции у = f (x) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2 y или d 2 f (x).
Итак, по определению d 2 y = d (dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у = f (х).
Так как dx = ∆ x не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:
,
т. e.
. (10.3)
Здесь dx 2 обозначает (dx)2.
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка:
.
И, вообще, дифференциал n - го порядка есть дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка: .
Отсюда находим, что . В частности, при n = 1, 2, 3 соответственно получаем:
.
т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
|
|
Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х - независимая переменная. Если же функцию у = f (x), где х — функция от какой-то другой независимой переменной, то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения (d(u*v)=v du+u dv), получаем:
,
т.e.
. (10.4)
Сравнивая формулы (10.3) и (10.4), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое f '(x)· d 2 x.
Ясно, что если х - независимая переменная, то и формула (10.4) переходит в формулу (11.3).