Отдельное рассмотрение нерекурсивных и рекурсивных ЦФ 2-го порядка позволяет определить характеристики цифрового биквадратного блока с передаточной функцией
. (5.66)
Запишем (5.66) в виде
.
Такая запись дает возможность представить цифровой блок как каскадное включение рекурсивного и нерекурсивного фильтров, как это показано на рис. 5.25. На этом рисунке x (n) – входная цифровая последовательность биквадратного блока, w (n) – цифровая последовательность на выходе рекурсивного фильтра, y (n) – выходная цифровая последовательность нерекурсивного фильтра, она же – выходная цифровая последовательность всего биквадратного блока.
Рис. 5.25.
Каскадное включение рекурсивного и нерекурсивного фильтров.
АЧХ цифрового блока определяется произведением АЧХ рекурсивного и нерекурсивного фильтров:
а фазочастотная характеристика блока определяется суммой фазовых сдвигов рекурсивной и нерекурсивной частей блока:
|
|
.
Найдем выражение для ДИХ h (n) цифрового биквадратного блока. Ее можно определить несколькими способами.
Во-первых, ДИХ является обратным z -преобразованием передаточной функции блока (5.66), и ее (ДИХ) можно найти, используя выражение (3.10) в гл. 3.
Во-вторых, ДИХ блока можно найти, если решить разностное уравнение его нерекурсивной части:
(5.67)
Мы воспользуемся именно этим способом. Но вначале, с целью получения более расширенного представления о свойствах ЦФ, определим разностное уравнение нерекурсивного фильтра, не обращаясь к его готовой записи (5.67).
По определению, ДИХ h (n) всего биквадратного блока является его выходной последовательностью y (n), если на вход блока подать единичный отсчет d(n), т.е. установить x (n) = d(n).
С другой стороны, при каскадной форме структуры блока его выходную последовательность y (n) можно представить как результат дискретной свертки ДИХ нерекурсивной части h НР(n) с последовательностью w (n), действующей на входе нерекурсивной части:
.
Последовательность w (n) – это выходная последовательность рекурсивной части биквадратного блока. При подаче на вход блока единичного отсчета последовательность w (n) представляет собой ДИХ рекурсивной части h Р(n).
Таким образом, ДИХ биквадратного блока h (n) является результатом свертки дискретных импульсных характеристик рекурсивной и нерекурсивной частей:
. (5.68)
ДИХ h НР(n), входящая в (5.68), содержит всего три отсчета, поэтому удобнее (5.68) записать в развернутом виде:
|
|
(5.69)
Сравнивая (5.67) и (5.69), убеждаемся, что применительно к КИХ-фильтру процедура свертки по сути является решением разностного уравнения этого фильтра.
Введем в (5.69) общее выражение (5.52) для ДИХ рекурсивного фильтра 2-го порядка. Напомним, что выражение (5.52) составлялось в предположении, что z П1 ≠ z П2. Константу a,входящую в выражение (5.52), включим в a 0. В результате получим:
(5.70)
Выражение (5.70) можно использовать непосредственно в случае, когда полюсы z П.1,2 передаточной функции (5.44) действительные. Если полюсы комплексно-сопряженные, то в выражение (5.69) следует ввести выражение (5.63), и тогда:
, (5.71)
где r и ±q – полярные координаты полюсов.
Формулы (5.70) и (5.71) в том виде, как они представлены, могут использоваться только для значений n ≥2. Действительно, ДИХ любого ЦФ не существует в области отрицательных значений n. Обращаясь к (5.69), устанавливаем, что h Р(n – 1) = 0 при n = 0 и h Р(n – 2) = 0 при n = 0 и n = 1. Отмеченное обстоятельство не приводит к каким-либо существенным осложнениям в расчете ДИХ цифрового блока. Поскольку первый отсчет (при n =0) ДИХ любого БИХ-фильтра всегда равен h (0) = a 0, то дополнительное определение требуется для единственного отсчета ДИХ с номером n =1. Его найдем из (5.70):
В соответствии с (5.47): z П1 + z П2 = b 1, поэтому последнее выражение перепишем в виде:
h (1) = a 0(b 1 + a1).
Последним выражением можно пользоваться как при действительных, так и при комплексно-сопряженных полюсах. В последнем случае, как это показано в (5.61), b 1 = 2 r cosq, и тогда
h (1) = a 0(2 r cosq+ a1). (5.72)
В качестве примера рассмотрим цифровой биквадратный блок с передаточной функцией
. (5.73)
Рис. 5.26.
АЧХ биквадратного блока с передаточной функцией (5.73).
Рис. 5.27.
ДИХ биквадратного блока с передаточной функцией (5.73).
АЧХ этого блока показана на рис. 5.26, а график ДИХ – на рис. 5.27. Необходимые для расчета ДИХ числовые значения величин, входящих в (5.71) и (5.72), равны:
a0 = 0,125; a1 = 1,785; a2 = 0,810; r = 0,95; q = p/34.