Цифровые фильтры с бесконечной

6. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ С БЕСКОНЕЧНОЙ

 ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ (БИХ-ФИЛЬТРЫ)

6.1. Способы расчета БИХ-фильтров

Цифровые фильтры с бесконечно протяженной импульсной характеристикой (БИХ-фильтры) должны содержать рекур­сивную часть, т.е. в выражении для передаточной функции БИХ-фильтра

                                                                    (6.1)

хотя бы один из коэффициентов знаменателя b_k не должен равняться нулю. Наличие нерекурсивной части в составе БИХ-фильтра не всегда является обязательным, т.е. все коэффициенты числителя a_k, кроме a ₀, могут равняться нулю.

Целью расчета (или синтеза) цифрового фильтра является определение его коэффициентов a_k и b_k. В зависимости от поставленной задачи при синтезе БИХ-фильтров используются различные способы:

– расчет по заданному аналогу-прототипу,

– расчет по заданным параметрам АЧХ,

– расчет по заданной АЧХ произвольной формы,

–  расчет по заданной выходной реакции фильтра при известном входном воздействии.

6.2. Расчет БИХ-фильтра по заданному ана­логу-прототипу

6.2.1. Метод отображения дифференциалов

Расчет по заданному ана­логу-прототипу основан на использованиианалоговых фильтров, характеристики которых (АЧХ, ФЧХ) соответст­вуют требуемым характеристикам синтезируемых БИХ-фильтров. По­этому такие аналоговые фильтры и называются аналогами-прототи­пами. Передаточная функция H (s)аналога-прототипа считается из­вестной. За­дача состоит в отыскании способа пересчета передаточной функции H (s)в передаточную функцию H (z)рассчитываемого БИХ-фильтра.

Непосредственное использование функциональной связи переменных s и z:

                                                                              (6.2)

где T − период дискретизации, не позволяет получить передаточную функцию БИХ-фильтра в виде дробно-рациональной функции вида (6.1). Для установления необходимой связи используют методы дискретизации аналогов-прототипов:

– метод отображения дифференциалов,

– метод согласованного z -преобразования,

– метод стандартного z -преобразования,

– метод билинейного z -преобразования.

Рассмотрение этих методов начнем с метода отображения дифференциалов.

Метод основан на дискретизации дифференциального уравнения аналога-прототипа с целью перехода от дифференциального уравнения аналогового фильтра к разностному уравнению рассчитываемого БИХ-фильтра.

Дискретизация дифференциального уравнения, как описывалось в главе 2, осуще­ствляется заменой производных конечными разностями D _i соответствую­щих порядков i.

Первая производная заменяется разностью 1-го порядка:

                                                        (6.3)

вторая производная заменяется разностью 2-го порядка:

              (6.4)

и т.д.

Передаточная функция аналогового фильтра-прототипа может иметь сколь угодно большой порядок n. Такой же порядок имеет наивысшая производная в дифференциальном уравнении, описывающем фильтр. Известно [7], что дифференциальное уравнение порядка n можно свести к системе n уравнений 1-го порядка. Таким образом, можно упростить рассмотрение, используя для описания фильтра дифференциальные и разностные уравнения меньшего порядка.

Используя (6.3), заменим 1-ю производную разностью 1-го по­рядка

                                                                         (6.5)

Связь переменных в s -плоскости и z -плоскости на основании соотношения (6.5) (т.е. связь между аналоговым и цифровым представлением) можно установить, если в (6.5) ввести символы известных операторов дифференцирования и сдвига последовательностей:

                                                                                (6.6)

Тогда  вместо (6.5) можно записать:

                                     ,                                          (6.7)

где Y (s) – изображение функции y (t) в плоскости s, а Y (z) – изображение функции y (n) в плоскости   z.

Поскольку Y (s) и Y (z) являются изображениями одной и той же функции, то (6.7) можно переписать в виде

                                                                                             (6.8)

Рассматривая выражения (6.6), (6.7) и (6.8), можно отметить, что (6.8) устанавливает связь между изображением производной в плоскости s  и изображением разности 1-го порядка в плоскости z. Отсюда следует название метода, использующего такую связь: метод отображения дифференциалов.

В качестве примера применим полученный результат для перевода аналога-прототипа в виде фильтра 1-го порядка (RC -цепь) с постоянной времени фильтра t_Ф = RC и передаточной функцией

                                                                                   (6.9)

в цифровую область. Используя в (6.9) замену (6.8), получим уравнение БИХ-фильтра:

                                                    

где    a = T /(T + t_Ф), b = t_Ф/(T + t_Ф).

Обратим внимание, что результаты этого расчета полно­стью совпадают с полученными ранее в подразделе 2.2. Там же было отмечено, что цифровой фильтр, рассчитанный методом дискретизации дифференциального уравнения, лишь прибли­женно сохраняет избирательные свойства своего аналога-прототипа.

Прежде чем переходить к выяснению причин указанных расхождений, сформулируем общие условия, которые должны выполняться в расчетах БИХ-фильтров при любом отображе­нии непрерывного пространства в дискретное, вне зависи­мости от метода дискретизации аналога-прототипа.

1. Ось j w в s -плоскости должна отображаться в z -плоскости в окружность единичного радиуса. Выполнение этого условия обеспечивает воз­можность сохранения в рассчитываемом БИХ-фильтре избирательных свойств его аналога-прототипа.

2. Левая s -полуплоскость (зона устойчивой работы аналогового фильтра) должна трансформироваться в z -плоскости внутрь окружности единичного радиуса. Таким образом, нахождение корней внутри этой окружности в z- плоскости обеспечивает устойчивость БИХ-фильтра, полученного в результате синтеза ЦФ на основе преобразования устойчивого аналога-прототипа.

Рассмотрим, как выполняются перечисленные условия в методе отображения дифференциалов. Из (6.8) следует

                                                          (6.10)

Годограф вектора , соответствующий трансформированной оси j w из s -плоскости в z -плоскость, получим из (6.10), по­ложив s = 0:

                                      (6.11)

Из (6.11) следует, что при изменении переменной w от 0 до  конец вектора  движется в z -плоскости по окружно­сти от точки (+1,0) до начала координат (рис. 6.1) либо по верхней полуокружности (w>0), либо по нижней (w<0).  Движение в s -плоскости по оси j w переходит в z -плоскости в перемещение по окружности, не совпадающей с окружностью единичного радиуса. Следовательно, первое усло­вие дискретизации аналога-прототипа не соблюдается и его избирательные свойства не сохраняются в БИХ-фильтре, рас­считанном методом отображения дифференциалов.

Рис. 6.1. Годограф вектора при методе отображения дифференциалов.

 

Второе условие, определяющее устойчивость БИХ-фильтра, выполняется. Для доказательства этого необходимо показать, что при s < 0 (что соответствует левой s -полуплоскости) мо­дуль z в (6.10) меньше единицы. Перепишем (6.10), приняв s < 0:

                     

откуда следует

                            

Итак, мы доказали устойчивость ЦФ, синтезированного в данном примере.

Существенным недостатком метода отображения диффе­ренциалов является заметное расхождение частотных ха­рактеристик рассчитываемого БИХ-фильтра и его аналога-прототипа. Необходимо отметить, что если такое расхожде­ние легко прогнозируется и, следовательно, может быть учте­но в расчете БИХ-фильтра, то оно не расценивается, как отрицательное качество метода. В последующем изложении мы увидим, что это действительно так. Что касается метода отображения дифференциалов, то коррекция в расчете БИХ-фильтров оказывается практически невозможной из-за того, что окружность единичного радиуса в z -плоскости не отображает ось частот в s -плоскости.

Если речь идет просто об уменьшении ошибок в частотной характеристике БИХ-фильтра, рассчитываемого методом отображения дифференциалов, то такая возможность суще­ствует. Для этого надо использовать малый участок годографа вектора  (6.11), на котором степень его близости к окружности единичного радиуса достаточно высока. Угол g  (рис 6.1), который условно определяет протяженность этого участка, выражается, в соответствии с (6.11), в виде:

                                         g = arctgw T.

Если w T << 1, то справедливо приближенное равенство arctgw T ≈ w T. В этом случае

                               g   ≈ w T = 2p f T = 2p f/f _Д.                                (6.12)

Уменьшение угла g, как следует из (6.12), требует увеличения частоты дискретизации f _Д, что связано с определенными трудностями при аппаратурной реализации БИХ-фильтра.

Возьмем для примера в качестве аналога-прототипа полосовой фильтр с передаточной функцией

                                                                  (6.13)

где  w₀ = 2p f ₀, f ₀ - резонансная частота; Dw = 2pD f = 2p f ₀/ Q - полоса пропускания на уровне 0,7; Q - добротность. Примем значения: f ₀ = 10 кГц, Q = 4.  График АЧХ при этих значениях параметров аналога-прототипа пока­зан на рис. 6.2 жирной сплошной линией.

Рис. 6.2. АЧХ при использовании метода отображения дифференциалов.

 

Используя замену (6.8), составим выражение для пере­даточной функции цифрового БИХ-фильтра

          .

На рис. 6.2 пунктиром изображены графики нормированных АЧХ этого БИХ-фильтра при различных частотах дискретизации f _Д = 1/ T. Верхняя граница диапазона частот выбрана равной 25 кГц, т.е. половине значения минимальной частоты дискретизации. Видно, что относительно приемлемое совпадение АЧХ БИХ-фильтра с АЧХ его аналога-прототипа может быть достигнуто только при весьма большом значении частоты дискретизации, что уже отмечалось выше при анализе рис. 6.1. В рассматриваемом случае требуется превышение в 150 раз. Различие амплитудно-частотных характеристик БИХ-фильтра и его аналога-про­тотипа дополняется также и эффектом наложения, что приводит к искажениям АЧХ на правой границе диапазона частот.

В силу отмеченных отрицательных обстоятельств метод отображения дифференциалов не находит широкого применения при расчете цифровых фильтров.