Рекурсивный фильтр 2-го порядка

На основании общих формул (3.17) и (3.20) составим вы­ражения для передаточной функции рассматриваемого в этом параграфе фильтра

                                                                 (5.39)

и его разностного уравнения

                        y (n)= ax (n) + b ₁ y (n - 1) + b ₂ y (n - 2).                       

Структурная схема фильтра в прямой форме показана на рис. 5.18.

Рис. 5.18.

Структура рекурсивного фильтра 2-го порядка по прямой форме.

 

Комплексный коэффициент передачи фильтра получим из (5.39), положив z = exp(j F):

                                      (5.40)

Представив экспоненты в тригонометрической форме, перепишем (5.40) в окончательном виде

            (5.41)

Используя (5.41), составим выражения для амплитудно-частотной характеристики фильтра

           (5.42)

и его фазочастотной характеристики

                                             (5.43)

Нули и полюсы определим из (5.39), представив это выражение так:

                                                                        (5.44)

Из (5.44) следует, что передаточная функция рекурсивного фильтра 2-го порядка имеет двукратный нуль в начале коор­динат и два полюса:

                        z _0.1,2 = 0,                           (5.45)     

Определим связь коэффициентов b ₁ и b ₂ сполюсами. Для этого преобразуем (5.44):

                 (5.46)

Сравнивая знаменатели в (5.46) и (5.44), получим

                                                                               (5.47)

Определим ДИХ фильтра, как обратное z -преобразование передаточной функции Н (z).Из рассмотренных в Приложении 3 способов нахождения обратного z -преобразования, используем разложение на простые дроби. Для этого пред­ставим (5.39) так:

            (5.48)

Нам известно (см. предыдущий параграф), что z -форма

                              

содержащаяся в (5.48), является z- преобразованием последовательности

                                 

Поэтому ДИХ фильтра может быть записана в виде

                              h (n) = Az _П1 ⁿ + Bz _П2 ⁿ.                                        (5.49)

Для нахождения значений A и B воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Приведем разложение (5.48) к общему знаменателю:

                                                (5.50)

Сравнивая (5.50) и (5.48), можем записать

                       

что позволяет составить систему из двух уравнений:

                                 

решение которой определяет коэффициенты   A и B:

                                                (5.51)

Подставляя (5.51) в (5.49), получим:

                         .                                (5.52)

В зависимости от знака подкоренного выражения в (5.45) полюсы могут быть как действительными, так и комплексно-сопряженными. Рассмотрим эти случаи отдельно.

Действительные полюсы имеют место при   b ₁² + 4 b ₂ > 0. Возможные варианты нуль-полюсных диаграмм и соответ­ствующие им АЧХ фильтра показаны на рис. 5.19. Расчет АЧХ и ФЧХ фильтра производится по формулам (5.42) и (5.43).

Рис. 5.19.

Нуль-полюсные диаграммы и АЧХ фильтра 2-го порядка при различных положениях действительных полюсов.

 

Поскольку полюсы - действительные, структура фильтра может быть представлена как в последовательной, так и в параллельной формах. Для составления этих структур обратимся к (5.48). Последовательная (каскадная) форма опре­деляется уравнением

                                           (5.53)

а параллельная - уравнением

                                                (5.54)

где коэффициенты A и B находятся из (5.51). Структурные формы цифрового рекурсивного фильтра 2-го порядка, соот­ветствующие уравнениям (5.53) и (5.54), показаны на рис. 5.20.

Рис. 5.20.

Структурные формы фильтра 2-го порядка: а) последовательная, б) параллельная.

 

Для практических целей эти структуры целесообразно видоизменить. На схеме рис. 5.20,а оба блока умножения  следует объединить в один, который, как масштабирую­щий, выносится из состава фильтра. Аналогичное видоизме­нение может быть сделано в структуре рис. 5.20,б. Для этого в уравнении (5.54) бόльший коэффициент представляется как общий множитель. Например, при A > B

                                       (5.55)

где

                                

Если блок умножения А рассматривать как масштабирующий и вынести его из состава фильтра, то параллельная форма примет вид, показанный на рис. 5.21.

Рис. 5.21.

Видоизмененная структура параллельной формы фильтра 2-го порядка.

 

Полученная на рис. 5.21 структура отчетливо показывает ограниченные возможности параллельной формы фильтра при близких значениях полюсов. В предельном случае дву­кратного полюса (z _П1 = z _П2) коэффициент g   = - 1, выходные последовательности у ₁(п)и y ₂(n)обеих ветвей отличаются только знаком, и выходной эффект фильтра равен нулю. В структуре рис. 5.20,б при z _П1→ z _П2, как следует из (5.51), значения коэффициентов A и B устремляются в бесконеч­ность. Таким образом, параллельная форма рекурсивного фильтра 2-го порядка может применяться только при суще­ственном различии значений полюсов.

Дискретную импульсную характеристику фильтра в слу­чае действительных полюсов можно определить с помощью формулы (5.49), из которой следует, что ДИХ пред­ставляет собой сумму двух экспоненциальных последова­тельностей. На рис. 5.22 в качестве примера показана ДИХ фильтра при z _П1=0,8, z _П2=0,5 и а= 1.При z _П1 <0 и/или z _П2<0 ДИХ фильтра - знакопеременная.

Рис. 5.22.

ДИХ фильтра при z _П1=0,8; z _П2=0,5 и а= 1.

 

Определение ДИХ фильтра с двукратным полюсом тре­бует специального рассмотрения, так как формулы (5.48) и (5.53) для этой цели непригодны. Перепишем (5.46) для случая z _П1 = z _П2 = z _П  в виде

                                                                              (5.56)

Воспользуемся результатом из Приложения 2 (формула П.2.6), где найдено z - преобразование последовательности nbⁿ:

                                                    (5.57)

Преобразуем (5.56):

                                                          (5.58)

 Здесь величина z в первом сомножителе является оператором сдвига z^{+ 1}на один такт дискретизации в сторону опереже­ния, а вто­рой сомножитель совпадает по своей структуре с z -формой (5.57). С учетом этих соображений ДИХ, т.е. последовательность h (n), z -преобразова­ние которой описывает­ся выражением (5.56), может быть представ­лена так:

                                

или в окончательном виде

                                                                (5.59)

  Комплексно-сопряженные полюсы имеют место при b ₁² + 4 b ₂ < 0. Общий вид нуль-полюсной диаграммы и соответ­ствующая ей форма АЧХ фильтра показаны на рис. 5.23.

Рис. 5.23.

Нуль-полюсная диаграмма и АЧХ ЦФ в случае комплексно-сопряженных полюсов.

 

Выражения для полюсов удобно представить в экспонен­циальной форме

                                                                     (5.60)

Из рис. 5.23 видно, что рекурсивный фильтр 2-го порядка в случае комплексно-сопряженных полюсов представляет со­бой резонансное устройство. АЧХ и ФЧХ фильтра рассчиты­ваются по формулам (5.42) и (5.43) соответственно. Струк­турная схема фильтра возможна только в прямой, обращен­ной или канонической форме, т.е. в такой форме, где ко­эффициенты блоков умножения являются действительными числами. Представим передаточную функцию (5.39) в более удоб­ном виде так, чтобы ее коэффициенты непосредственно определялись координатами полюсов. Используя (5.47) и (5.60), запишем

                                           (5.61)

При этом передаточную функцию (5.39) с парой комплексно-сопряженных полюсов можно представить так:

                                                     (5.62)

Для определения ДИХ фильтра подставим в (5.52) выражения (5.60) для полюсов:

                   

После преобразований получим:

                                                             (5.63)

На рис. 5.24 в качестве примера показана ДИХ цифро­вого резонатора 2-го порядка для значений а =1, r = 0,9 и q = p/4.

Рис. 5.24.

ДИХ цифро­вого резонатора 2-го порядка для значений а =1, r = 0,9 и q = p/4.

 

Обратим внимание, что формула (5.63) может быть использована для нахождения ДИХ при двукратном дейст­вительном полюсе, если такой полюс рассматривать как пару комплексно-сопряженных полюсов при q =0. Отношение синусных функций в (5.63) при q→0 преобра­зуется в отношение их аргументов:

                             .                            (5.64)

Подставляя (5.64) в (5.63), получим:

                                   

что совпадает с (5.59).

Переходную характеристику g (n) БИХ-фильтра 2-го порядка можно определять по той же методике, которая использовалась при рассмотрении БИХ-фильтра 1-го порядка (см. также Приложение 3). Не останавливаясь на процедуре вывода, приведем окончательные выражения для g (n).

1. Полюсы z _П1 и z _П2 - действительные и различные.

Если передаточная функция записывается в виде:

                     

то выражение для g (n) принимает вид:

 (5.65) 

2. Полюсы действительные и кратные: z _П1 = z _П2 = z _П.

Выражение для передаточной функции:

                                     

Выражение для переходной характеристики:

                  

3. Полюсы комплексно-сопряженные.

Представив их в виде: z _П1 = r exp(j q) z _П2 = r exp(- j q) и подставив в выражение (5.65), получим следующую формулу для расчета переходной характеристики:

Приведенные выражения позволяют построить графики переходных характеристик для всех возможных расположений полюсов.