Метод согласованного z-преобразования

Частотная характеристика аналогового фильтра-прототипа опреде­ляется расположением в s -плоскости нулей и полюсов его передаточной функции. Это достаточно очевидное обстоятель­ство положено в основу рассматриваемого в этом параграфе метода согласованного z -преобразования, суть которого состоит в том, что в соответствии с ба­зовым соотношением (6.2)

                                           z = exp(sT)

нули и полюсы передаточной функции аналога-прототипа из s -плоскости переносятся в z -плоскость. При этом считается, что такой согласованный пересчет нулей и полюсов при пере­воде аналога-прототипа в цифровую область является своего рода гарантией сохранения его избирательных свойств.

Представим передаточные функции аналога-прототипа H (s)и рассчитываемого БИХ-фильтра H (z) в виде:

                                                                                   (6.14)

                                                                              (6.15)

где   s _{0 i}  и s _{П i} – известные нули и полюсы передаточной функции аналога-прототипа.

Нули z _{0 i} и полюсы z _{П i} в (6.15) определяются в соответ­ствии с (6.2):

                     ,                   (6.16)

и выражение (6.15) для передаточной функции рассчиты­ваемого БИХ-фильтра с учетом (6.16) принимает вид

                                                               (6.17)

Сопоставляя (6.14) и (6.17), устанавливаем, что метод согла­сованного z -преобразования базируется на замене сомножи­телей в H (s),и эта замена производится по правилу

                                                             (6.18)

где А_i  - координаты нулей (полюсов) в s -плоскости.

Замена (6.18) может быть непосредственно использована для случая действительных нулей (полюсов). Если же нули (полюсы) функции H (s)являются комплексными, то каждая пара сопряженных нулей (полюсов) в s -плоскости в соответ­ствии с (6.16) определяет пару комплексно-сопряженных ну­лей (полюсов) в z -плоскости. Для получения передаточной функции H (z) реализуемого БИХ-фильтра с действительны­ми коэффициентами необходимо провести преобразование H (z), основанное на группировке комплексно-сопряженных пар нулей (полюсов). В данном случае замена (6.18) должна быть представлена в следующей форме:

                 (6.19)

где  

Представив в (6.19) экспоненты от комплексного аргумента в тригонометри­ческой форме и выполнив необходимые преобразования, по­лучим форму замены в окончательном виде

(6.20)

 

Обсудим следующий вопрос: обеспечивает ли метод согла­сованного z -преобразования точное соответствие между АЧХ БИХ-фильтра и АЧХ его аналога-прототипа?

Для нахождения ответа воспользуемся известными соотношениями, позволяющими определить АЧХ фильтров по их нуль-полюсным диаграм­мам (см. §3.3). Для аналогового фильтра это соотношение перепишем в виде:

                                                                             (6.21)

где N_sk  и P_sk – расстояния соответственно от k -гонуля и k -гополюса до выбранной точки на оси частот в s -плоскости. Для цифрового фильтра формула для АЧХ аналогична по форме:

                                                              (6.22)

где N_zk  и P_zk – расстояния соответственно от k -гонуля и k -гополюса до выбранной точки на окружности единичного радиуса в z -плоскости.

Очевидно, что точное соответствие функций H_s (w) и H_z (wT) может быть только в том случае, если отношение правых частей в (6.21) и (6.22) не будет зависеть от частоты w.

 

Рис. 6.3. Преобразование нуль-полюсной диаграммы: а)исходная диаграмма в плоскости s, б) диаграмма, пересчитанная методом согласованного z - преобразования.

 

На рис. 6.3,б изображена часть нуль-полюсной диаграм­мы с одним полюсом z _П, согласованно пересчитанным из s -плоскости (рис. 6.3,а). Особенностью z -преобразования, в соответствии с базовым соотношением z = ехр(sT),  является то, что прямолинейные отрезки из s -плоскости пересчиты­ваются в z -плоскость в виде кривых. Исключение составляют бесконечно протяженные горизонтали, которые отображаются в z -плоскости радиусами, выходящими из начала координат. В частности, так происходит нелинейное преобразование отрезка P_{S 1} в отрезок P_{Z l} = 1 – exp(P_{S 1} T). Что касается отрезка P_{S 2}, то он отображается в z -плоскости кривой P_{Z 2},поскольку бесконечно протяженный луч, выходящий из начала коорди­нат в s -плоскости (направление В на рис. 6.3,а), преобра­зуется в спираль, ограниченную точками (0, 0) и (+1, 0). Очевидно, что отмеченные обстоятельства исключают прин­ципиальную возможность сохранения пропорционального изменения длин отрезков, различно ориентированных в s -плоскости при их отображении в z -плоскость. Следовательно, метод согласованного z -преобразования неизбежно приводит к иска­жению АЧХ рассчитываемого БИХ-фильтра по сравнению с АЧХ его аналога-прототипа.

В качестве примера рассчитаем методом согласованного z -пре­образования БИХ-фильтр, аналог-прототип которого за­дан передаточной функцией (6.13). Координаты особых точек этой передаточной функции:

                                           (6.23)

Произведем замену сомножителей функции H (s) на сомножители функции H (z) в соответствии с формулами (6.18) и (6.20). В результате получим следующее выражение для H (z):

. (6.24)

Приняв использованные ранее значения: f ₀ = 10 кГц и f _Д = 50 кГц, 100 кГц и 150 кГц, рассчитаем АЧХ ЦФ с передаточной функцией (6.24). На рис. 6.4 эти графики обозначены пунктиром. Там же приведен график АЧХ аналога-прототипа (сплошная жирная линия).

 

Рис. 6.4. АЧХ при использовании метода согласованного z -преобразования.

 

Как следует из рис. 6.4, в области нижних частот сравниваемые АЧХ практически совпадают при всех выбранных значениях частот дискретизации. В области верхних частот от АЧХ аналога прототипа отклоняется только АЧХ ЦФ при частоте дискретизации 50 кГц. Это отклонение вызвано эффектом наложения.

В рассмотренном примере в качестве аналога-прототипа выбран полосовой фильтр. Практика показывает, что при использовании метода согласованного z -преобразования искажения АЧХ БИХ-фильтров других типов тоже, как правило, не слишком велики и в ряде случаев могут считаться допустимыми.

Какой-либо специальной проверки на устойчивость БИХ-фильтра, рассчитанного методом согласованного z -пре­образования, не требуется, поскольку, как это следует из (6.16), полюсы передаточной функции устойчивого аналога-прототипа, расположенные в левой s -по­лу­плоскости, пересчитываются в z -плоскости внутрь окружности еди­ничного радиуса, что является признаком устойчивости цифро­вого БИХ-фильтра.