Собственные колебания механической системы с распределенными параметрами с учетом демпфирования

Таблица 5

Таблица 4

Таблица 3

Таблица 2

Таблица 1

Значения массы потока на единицу длины трубопровода

ÆDxh	р1 = 50	р2 = 200	р3 = 500	р4 = 650
1420x16,5	75,5	302,0	755,0	981,5
1220x12	56,0	224,0	560,0	728,0
1020x14	38,6	154,4	386,0	501,8
1020x10	39,25		392,5	510,3

Значения массы единицы длины трубопровода т приведены табл.2.

Значения суммарной массы единицы длины трубопровода m

ÆDxh	р1 = 50	р2 = 200	р3 = 500	р4 = 650
1420x16,5	646,2	872,7	1325,7	1552,2
1220x12	413,2	581,2	917,2	1085,2
1020x14	385,6	501,4	733,0	848,8
1020x10	288,25	406,0	641,5	759,3

Полученные значения массы единицы длины трубопровода позволяют вычислить значения радикала в формуле (32), которые приведены в табл. 3.

Значения радикала в формуле (32)

ÆDxh	р1 = 50	р2 = 200	р3 = 500	р4 = 650
1420x16,5	3,82	3,29	2,67	2,47
1220x12	3,25	2,74	2,18	2,01
1020x10	2,77	2,43	2,01	1,86
1020x10	2,72	, 2,29	1,82	1,68

Значение частоты зависит от формы вибрации. Рассчитаем значение частоты для первых двух форм вибрации. В табл. 4 приведены значения собственной частоты для первой формы вибрации трубопровода-балки.

Значения собственных частот трубопровода при первой форме вибрации

ÆDxh	р1 = 50	р2 = 200	р3 = 500	р4 = 650
1420x16,5	37,7	32,5	26,3	24,35
1220x12	32,1	27,1	21,6	19,82
1020x10	27,3	23,9	19,8	18,4
1020x10	26,8	22,6	18,0	16,5

В табл. 5 приведены значения собственной частоты для второй формы вибрации трубопрвода-балки.

Значения собственных частот трубопровода при второй форме вибрации

ÆDxh	р1 = 50	р2 = 200	р3 = 500	р4 = 650
1420x16,5	150,8	129,9	105,4	97,5
1220x12	128,3	108,2	86,2	79,3
1020x10	109,2	95,7	79,2	73,6
1020x10	107,2	90,5	72,0	66,2

На рис.8 и 9 показано изменение частоты собственных колебаний трубопровода-балки в зависимости от изменения жесткости поперечного сечения трубы и плотности транспортируемого потока для первой и второй форм вибрации.

Рис.8. Значения собственных частот при первой форме вибрации

Согласно полученным результатам изменение поперечного сечения трубы за счет изменения ее геометрических размеров (внешнего диаметра и толщины стенки трубы) и изменение плотности транспортируемого продукта приводят к принципиальному изменению значения частоты собственных колебаний. При этом скорость изменения частоты собственных колебаний при изменении геометрических размеров явно выше, чем при изменении плотности транспортируемого продукта.

Следует обратить внимание еще на одно обстоятельство. Изменение системы в рассмотренных примерах приводило к принципиальному изменению значения частоты собственных колебаний, но движение механической системы остается гармоническим, то есть амплитуда изменялась, но система (трубопровод) сохраняла устойчивость. Но одним из главных вопросов технической диагностики является именно вопрос о том, когда или при каких условиях механическая система потеряет устойчивость. В рамках рассмотренной в параграфе 2.2 расчетной схемы потеря устойчивости невозможна. Поэтому рассмотрим задачу в другой более сложной постановке (рассмотрим большее количество силовых факторов).

Рис.9. Значения собственных частот по второй форме вибрации

Как видно из представленных на рис.8 и рис.9 графиков, изменение геометрических размеров трубы, а следовательно ее жесткости и массы, а также плотности транспортируемого продукта может привести к принципиальному изменению численного значения собственной частоты даже в предельно упрощенном варианте расчетной схемы (рассматриваются всего два силовых фактора).

Но реальные системы находятся в более сложных условиях нагружения, что ведет к необходимости учета при анализе технического состояния большего количества силовых факторов и более сложных условий закрепления, чем рассмотренные в предыдущем примере. Рассмотрим влияние на численные значения собственных частот механической системы таких реально действующих силовых факторов, как упругая реакция грунта (для подземных и проложенных по поверхности земли трубопроводов) и демпфирование.

Рассмотрим самый простой вариант расчетной схемы, то есть будем считать, что трубопровод-балка находится под воздействием сил собственного веса, упругой реакции материала трубы и реакции грунта. В качестве модели грунта рассмотрим вариант упругого основания. Таким образом, в качестве расчетной схемы проложенного по поверхности земли трубопровода используем балку на упругом основании. Тогда уравнение движения трубопровода будет иметь вид

.

(33)

где k - коэффициент упругой податливости основания (грунта);

kу(х,t) - сила упругой реакции основания (грунта).

После введения безразмерной координаты x=x/l уравнение (33) примет вид

.

(33)

Введем обозначения

, .

Тогда последнее уравнение можно представить в виде

.

(34)

Согласно методу Фурье, решение уравнения (34) следующие:

,

(34)

в котором функции формы и времени не равны тождественно нулю. Подставим искомое решение в виде (35) в уравнение (34). Получим уравнения для каждого слагаемого в выражении (35), поэтому индекс i опускаем,

.

Вынесем не равные тождественно нулю функции формы и времени за скобки и получим, что

.

(36)

После элементарного преобразования находим

.

Левая часть последнего равенства является функцией безразмерной координаты x, а правая часть - функцией времени t. Поэтому левая и правая части должны быть равны постоянной величине, которую обозначим как r⁴. Таким образом вместо одного уравнения (36) относительно двух переменных x и t имеем два уравнения, каждое из которых является уравнением относительно одного переменного соответственно x и t. Эквивалентная (36) система уравнений имеет вид

.

(37)

Уравнения системы (37) можно переписать в виде

.

(38)

где

.

В технической диагностике принято использовать следующее обозначение:

.

(39)

которое совпадает с выражением (32).

Первое уравнение системы (38), определяющее функцию формы, фактически идентично (29) и отличается лишь численным значением постоянной величины r⁴.

Функция времени находится из второго уравнения системы (38) и согласно изложенному выше материалу определяется по выражению

,

(39)

которое аналогично выражению функции времени в (28).

Таким образом, усложнение расчетной схемы за счет замены двух расположенных по концам трубопровода опор упругим основанием не изменило значений собственных частот трубопровода, но привело к изменению функции формы за счет изменения численного значения коэффициента в аргументе функции формы.

Рассмотрим влияние демпфирующих свойств механической системы на спектр собственных частот. При этом для простоты вычислений в качестве сил демпфирования учитываем лишь внутреннее трение материала трубы и не учитываем внешнего затухания.

Поскольку силы демпфирования нельзя оценить с такой же точностью, как силы упругой реакции и силы инерции, то строгое математическое моделирование демпфирования невозможно. Тем не менее для объяснения диссипативных сил конструкции следует сделать предположение о виде демпфирования, что позволяет оценить демпфирующие силы на практике. Кроме того, вид демпфирования должен соответствовать простым математическим операциям, используемым для анализа линейных уравнений движения ‑ это означает, что при гармоническом возбуждении силы демпфирования также должны изменяться по гармоническому закону. Двумя такими формами демпфирования являются вязкое и гистерезисное демпфирование. В данном случае используем модель вязкого демпфирования, согласно которой сила демпфирования пропорциональна мгновенной скорости.

При данной расчетной схеме (учитываем три силовых фактора) уравнение движения трубопровода с учетом введения безразмерной координаты будет иметь вид

.

(40)

где m - коэффициент, характеризующий внутреннее трение материала, в данном случае играющий роль коэффициента демпфирования;

- сила демпфирования.

Решение уравнения (40) найдем способом, аналогичным нахождению решения уравнения (34). После подстановки искомого решения в виде (35) и проведения аналогичных уравнению (34) преобразований вместо уравнения (36) получим следующее уравнение

,

(41)

которое после несложных преобразований приводится к виду

,

Левая и правая части последнего уравнения являются функциями разных переменных соответственно x и t и поэтому должны равняться одной и той же постоянной величине, которую обозначим как r⁴. Тогда вместо одного уравнения (40) имеем систему двух уравнений, каждое из которых является уравнением относительно одной переменной соответственно x и t

Первое уравнение для функции формы аналогично (29) и его решение находится по выражению (31). Введя обозначение, аналогичное (39), второе уравнение для функции времени можно привести к виду

,

где w - собственная частота колебаний трубопровода-балки без затухания, определяемая по формуле (39).

Решение данного уравнения и, следовательно, функция времени зависят от соотношения между коэффициентами. Согласно изложенному выше, функция времени будет иметь вид

.

(42)

Таким образом, частота собственных колебаний трубопровода-балки с учетом демпфирования

.

(43)

Обычно m малая величина. В этом случае значение частоты собственных колебаний при учете затухания может быть принято равным

.

Для случая

движение является апериодическим, что может привести к потере трубопроводом своей устойчивости, то есть сопровождаться неограниченным ростом численного значения параметров системы. В рассматриваемом случае потеря устойчивости означает неограниченный рост перемещения точек трубопровода, что неизбежно приведет к аварии. Полученный результат приводит к вопросу о том: может ли коэффициент демпфирования или, в более общей постановке, коэффициент при слагаемом в уравнении движения трубопровода, содержащим первую производную по времени, достигать значения, при котором движение системы может стать апериодичным.