Потеря устойчивости трубопровода вследствие силы Кориолиса

Для ответа на поставленный в предыдущем параграфе вопрос, рассмотрим случай трубопровода постоянного сечения, транспортирующего поток жидкости или газа. В качестве силовых факторов рассматриваем силу инерции трубопровода, силу упругой реакции материала трубы, силу инерции потока, движущегося по криволинейной траектории, и силу инерции, связанную с кориолисовым ускорением.

В рамках принятой расчетной схемы дифференциальное уравнение трубопровода с потоком жидкости или газа имеет вид

,

(44)

где v - постоянная средняя скорость течения потока относительно трубы;

- сила инерции потока, движущегося по криволинейной траектории;

- сила инерции потока, связанная с кариолисовым ускорением (сила Кариолиса).

Таким образом, мы увеличили число учитываемых при анализе состояния трубопровода численных характеристик транспортируемого потока до двух – и v.

Рассмотрим влияние силы инерции потока, связанной с кориолисовым ускорением. Для этого найдем решение уравнения (44).

Из характеристического уравнения следует, что решение уравнения (44) имеет вид

.

(45)

Для исследования решения уравнения (44) и определения собственных частот используем метод Галеркина, заключающийся в представлении решения в виде суммы собственных форм. Рассмотрим первые две формы поперечной вибрации идеального шарнирно опертого в обеих опорах трубопровода длиной l. Для этого примем функцию прогиба трубопровода в виде

.

(46)

Подставив функцию прогиба в виде (46) в уравнение (44), умножив затем полученное выражение поочередно на и на и проинтегрировав по длине трубопровода l, получаем систему двух линейных уравнений относительно неизвестных постоянных А и В. Приравняв к нулю определитель из коэффициентов этой системы, после упрощений получим уравнение, определяющее собственные частоты рассматриваемой механической системы. Определив корни последнего уравнения, получаем зависимости для первых двух собственных частот

(47)

Если скорость транспортируемого потока v = 0, то первая частота собственных колебаний будет определяться по выражению

совпадающему с (32).

Из анализа приведенных формул можно сделать некоторые выводы относительно влияния скорости потока на вибрацию трубы. Учет скорости потока снижает значение собственной частоты, хотя степень ее влияния зависит от конкретных условий эксплуатации. При достаточно высокой скорости транспортируемого потока собственная частота может оказаться равной нулю. Этому условию соответствует значение первой критической скорости

(48)

при которой инерционная сила потока, возникающего вследствие кривизны траектории потока, находится в равновесии с восстанавливающей силой, связанной с упругостью трубы. При скорости движения выше критической, силы инерции превосходит восстанавливающую силу и трубопровод теряет устойчивость.

Полученный результат (возможность потери трубопроводом устойчивости) обусловлен именно наличием в уравнении (44) слагаемого, содержащего первую производную по времени и отличающегося от слагаемого, также содержащего первую производную по времени, в уравнении (40). Если бы в уравнении (44) не было данного слагаемого, то частоты собственных колебаний отличались бы от значений, определяемых по выражению (39), лишь численным значением коэффициента r.

В табл. 7 приведены значения первой критической скорости v_c потока для данных примера, рассмотренного в параграфе 2.3, и расширенных еще двумя значениями плотности потока и одним вариантом трубопровода.