Тема 3. Вынужденные колебания

Таблица 9

Задание для самостоятельной работы.

Выводы

Таблица 8

Таблица 7

Значения критической скорости транспортируемого потока v_c, м/с

ÆDxh	p=50	p2=200	p3=500	p4=650	p5=850	p6=1000
1420x16,5	878,5	439,3	277,8	243,7	313,1	196,4
1220x12	694,4	347,2	219,6	192,6	168,4	155,3
1020x14	686,5	343,2	217,1	190,4	166,5	153,5
1020x10	578,8	289,4	183,0	160,5	140,4	129,4
720x11,3	518,7	259,4	164,0	143,9	125,8	116,0

Как следует из таблицы, значение критической скорости более чем на порядок превышает возможные скорости потока. Определим длину пролета трубопровода, при которой сила Кориолиса начала бы превосходить восстанавливающую силу трубопровода.

Формулу (49) можно переписать в следующем виде:

,

(48)

где .

В табл. 8 приведены значения параметра.

Значения параметра а

ÆDxh	p1=50	р2=200	р3=500	р4=650	р5=850	р6=1000
1420x16,5	22,0×103	11,0×103	6,9×103	6,1×103	5,З×103	4,9×103
1220x12	17,4×103	8,7×103	5,5×103	4,8×103	4,2×103	3,9×103
1020x14	17,2×103	8,6×103	5,4×103	4,8×103	4,2×103	3,8×103
1020x10	14,5×103	7,2×103	4,6×103	4,0×103	3,5×103	3,2×103
720x11,3	13,0×103	6,5×103	4,1×103	3,6×103	3,1×103	2,9×103

Полученные с учетом значений параметра а величины расстояний между опорами намного превышают существующие на практике. Но такая длина пролета трубопровода может получиться, например, в результате просадки нескольких соседних опор (ситуация, имевшая место на практике и приведшая к аварии нефтепровода надземной прокладки). В то же время, если длина пролета трубопроводной системы (только для рассмотренного примера) меньше соответствующих табл. 8, то сила Кориолиса не может быть причиной потери трубопроводом устойчивости.

Возможность апериодического движения в механических системах, описываемых уравнениями (42) и (43), связана с появлением в этих уравнениях слагаемых, содержащих первую производную по времени t. Наличие разности в подкоренных выражениях в формулах (43) и (47) приводит к возможности появления под знаком квадратного корня отрицательного числа. Это значит, что собственная частота механической системы может быть комплексным числом, то есть

,

где , .

Тогда решение (45) уравнения (44) примет вид

.

Отсюда следует, что условие

соответствует неограниченному росту перемещений точек механической системы с течением времени, условие

соответствует гармоническим колебаниям трубопровода с постоянной амплитудой, условие

соответствует затухающим с течением времени гармоническим колебаниям. Полученный результат точно соответствует общему динамическому (в отличие от статического или бифуркационного) критерию устойчивости деформируемых тел

.

(49)

Согласно динамическому критерию устойчивости состояние равновесия считается устойчивым, если возмущения со временем затухают (при t®¥). Условно при этом также считают состояние равновесия устойчивым, если для возмущений получают только периодические по времени решения. При динамическом критерии устойчивости состояние равновесия считается неустойчивым, если возмущения неограниченно возрастают при t®¥.

Как показано в последнем примере, собственная частота является функцией в том числе и параметров транспортируемого по трубопроводу потока, дополнительно нагружающего трубопровод. Поэтому необходимо отметить, что условие (51) определяет область устойчивости в пространстве параметров нагружения, характеризующих рассматриваемую конкретную задачу, так как собственные значения (наряду с зависимостью от формы механической системы и структуры соотношений упругости) также зависят от параметров нагружения (величин, характеризующих нагрузки).

При использовании вибрационной диагностики для оценки технического состояния механической системы одной из численных характеристик, количественно отражающих это состояние, является собственная частота (спектр собственных частот) механической системы.

В общем случае собственная частота механической системы является функцией:

· геометрических размеров механической системы (например, D, h и l);

· механических характеристик системы (например, Е и r_р);

· условий закрепления (r);

· характеристик технологического процесса (например, r_f и v).

При этом приведенные в качестве примеров количественные характеристики ни в коем случае не ограничивают возможные аргументы собственной частоты реальной механической системы.

Значение собственной частоты механической системы в общем случае является функцией выбранной расчетной схемы, то есть набора учитываемых в расчете силовых факторов, математической модели рассматриваемой системы и принятых граничных условий.

Как показано выше, изменение жесткости или массы механической системы за счет износа, ошибки при определении численных характеристик системы или ошибки выбора расчетной схемы (выбора набора учитываемых в расчете силовых факторов) могут привести к отличию между расчетной и действительной собственными частотами.

Одной из возможных причин потери трубопроводом устойчивости, сопровождаемой неограниченным ростом перемещений, является сила инерции транспортируемого потока, связанная с кориолисовым ускорением (сила Кориолиса).

Динамическим критерием устойчивости состояния равновесия механических систем является условие .

Таким образом, собственная частота является численной характеристикой механической системы и ее значение может принципиально изменяться в зависимости от износа и учета различных силовых факторов.

Рассчитать собственные частоты четырех труб, имеющих разные диаметры и толщины стенок, при постоянной длине и четырех значениях плотности транспортируемого продукта.

Построить график изменения собственных частот в зависимости от изменения жесткости поперечного сечения трубы и плотности перекачиваемой среды для первых двух форм вибрации.

Геометрические параметры труб приведены в табл. 9.

Сортамент труб большого диаметра

Завод-изготовитель или страна изготовитель	Марка стали	Временное сопротив-ление на разрыв sв, кгс/мм2	Предел текуче- сти sв, кгс/мм2	Наружный диаметр D, мм	Толщина стенки h, мм
ЧТПЗ	14Г2САФ				11;11,5;13;15
17ПС				9,5;10;11;12,5;14 12;12,5;14,5;15,2 10;11;12;14
ВТЗ	17Г2СФ				10;10,5
17Г1С				12,5 10,5
НМЗ	16Г2САФ				9;10;10,5;12
14Г2САФ				9,5;10;11;12,5
17Г1С				10;11;12;14
ХТЗ	14ХГС				10,5;11;12,5
14Г2САФ				10;11,5
ЖМЗ	15ГСТЮ				10,6
Италия	-				17,5;20,5
ФРГ	-			1420/	16,5;19,5;20
	10,5;12,5
	16;21,5;26
Франция	-				9;10,5
Швеция	-