Функция нескольких переменных

Асимптоты.

Выпуклость. Точки перегиба.

Нахождение наименьшего и наибольшего значения функция.

Формула Тейлора.

Достаточное условие экстремума.

Экстремумы.

Экстремумами называют точки строгого максимума и строго минимума.

Теорема1 (Необходимое условие экстремума)

Пусть т. является точкой экстремума функции определенной в некоторой окрестности точки, тогда либо =0 или

Доказательство. (по теореме Ферма)

Теорема: Если производная функции меняет знак при переходе через точку, то - точка экстремума. Если с «+» на «-» - точка max, с «-» на «+» точка min.

Доказательство. с «+» на «-»

Пусть функция при и при

1)

2)

Следовательно - точка max (по определению) Аналогично для min.

Теорема3:

Если - точка минимума.

Если - точка max.

1)

2)

Аналогично для точки max.

1. критические точки

2. (критические точки)

1) Если значение функции в т.() значения секущей в т., то функция называется выпуклой внизу.

2) (через точку х) Если касательная в точке лежит ниже графика функции, то функция называется выпуклой снизу в точке.

Уравнение секущей вычисляется по формуле:

- выпуклая вверх в точке

- выпуклая вниз в точке

Если функция - выпуклая вверх в каждой точке интервала, то такая функция называется выпуклой вверх на интервале.

Теорема: (достаточное условие выпуклости)

Если функция непрерывно дифференцируема, то в точке и, то функция выпуклая вниз в точке. Соответственно, то функция выпуклая вверх.

Доказательство.

Теорема: Если в точке, меняет свой знак, то - точка перегиба.

Доказательство.

1) Вертикальная. Прямая называется вертикальной асимптотой графика, если а- предельная точка, выполняется одно из 4-х условий:

2) Горизонтальная. - называется горизонтальной асимптотой, если выполняется условие:

Область определения функции не ограничена

Прямая называется наклонной асимптотой функции, если выполнимо:

1. не ограничена

2. Выполняется одно из двух условий:, значение вычисляется по формуле:

Схему исследования смотрите в практике

Гиперболический синус

Гиперболический косинус

;

Функцией y=f(x₁, x₂, x₃, … x_n) определенной на множестве называется соответствие, ставящее значению x= (x₁, x₂, x₃, … x_n) в соответствие значение R, то есть. Множество D(y) называется областью определения функции, y(D)= E(y) – множество значений функции.

Примеры: 1) Найти D(y) и E(y) для функции

Решение. 1-x²-y²≥0

x²+y²≤1 (круг с радиусом 1 и центром в начале координат) (рис.)

х

у

О

D(y)

Рис.

z²=1-x²-y²

x²+y²+z²=1, z≥0

у

z

О

х

Рис.

Для функции 2-х переменных z = f (x; y) находят линии уровня: f (x; y) = с

Пример:

х

у

О

С=0

С=0,5

(семейство концентрических окружностей)

Рис.

Для функции 3-х переменных строятся поверхности уровня:

U=f(x;y;z)

f(x;y;z)=C

Пример:

у

z

О

С=4

С=1

х

(семейство концентрических сфер)

Рис.

δ- окрестностью т М₀(х₀,у₀) называют множество всех значений т М(х,у), таких, что < δ

Точка - внутренняя точка множества D, если такая δ окрестность V_δ, что

Точка М₀ называется граничной точкой множества D, если любая δ – окрестность содержит точки как принадлежащие так и не принадлежащие ей.

D

Граничная точка

Внутренняя точка

Рис.

Границей множества D называется множество граничных точек (- граница области D).

Множество D, состоящие только из внутренних точек, называется открытым (замкнутое множество D)

Область D называется ограниченной, если для нее можно подобрать круг полностью его покрывающий.

х

у

М

D

Рис.

Пример:

(неограниченное множество)

Областью называют открытое множество D, для которого верно следующее утверждение: 2 любые точки множества D можно соединить ломаной линией, состоящей из всех точек множества D (рис.).

D

М1

М2

Не является областью

Область

D

М1

М2

Рис.

Множество D, называется односвязным, если для любого замкнутого контура, лежащего в этом множестве, ограниченная его часть полностью принадлежит замкнутому множеству (рис.).

D

Не является односвязным множеством

D

Односвязное множество

Рис.