Частная производная и полный дифференциал высших порядков

Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Полное приращение полный дифференциал

Частная производная

Непрерывность функции нескольких переменных в точке

Предел функции нескольких переменных

Пусть функция U=f(x;y) определима в области, точка М₀(х_0;у₀) лежит в окрестности точки D. Число А называют пределом функции f(x;y) при стремлении точки M(x;y) если такое число, что для всех точек M(x;y) выполняется неравенство:

Аналогичное определение вводится и для функции 3-х и большего числа переменных. В качестве

Функция U=f(x;y) называется непрерывной в точке М₀(х_0;у₀), если:

1) Функция непрерывна в точке М₀ и в ее окрестности.

2)

3) Функция непрерывная во всех точках некоторой области называется непрерывной в этой области.

Точка М₀ называется точкой разрыва функции f, если в ней нарушено хотя бы одно из условий непрерывности.

Точки разрыва могут быть изолированными или образовывать линии разрыва.

Пример:

1)

x-y=0 => x=y – линия разрыва

2)

x²+y²=0; x=0, y=0 – изолированная точка разрыва.

Частным приращением функции U=f(x;y) называют разность. Соответственно частным приращением

Частной производной от х по U=f(x;y) называют предел отношения приращения к приращению при стремлении последнего к 0.

Частная производная по х обозначается или,.

Аналогично выводится определение частной производной по у.

Обычно частную производную по х находят как производную от функции f, зависящей только от одной переменной х, у считать постоянной.

Пример:

Рассмотрим функцию 2- переменных z=f(x;y), тогда полное приращение находится как:.

Пример:

Пусть z=xy

Пусть

Функция z=f(x,y) называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде, причем А, В не зависят от и функция является функцией более высокого порядка малости относительно функции, при.

Полным дифференциалом функции z=f(x,y), дифференцируемой в точке М(х,у) называется

Теорема: если функция z=f(x,y) дифференцируема в точке М(х,у), то в этой точке частные производные по х и по у, причем

Доказательство. Функция дифференцируема в точке М,.

Пусть,

Аналогично соответственно. Обратное утверждение не всегда верно.

Для функции 2-х переменных z=f(x,y)

Пример: z=sin(2x-y), найти dz.

Пример:

- смешанные производные

- вторая производная по х

- вторая производная по у

Частная производная n-го порядка - называется частная производная от частной производной n-1 порядка.

Теорема: частные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, непрерывны в точке М(х;у) и равны между собою.

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого порядка.