Таблица производных
y=sinx
(sinx)’=lim[sin(x+∆x)-sinx]/∆x=lim[2sin(∆x/2)cos((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[2(∆x/2)cos(x+(∆x/2))]/∆x=cosx
∆x®0 ∆x®0
(sinx)’=cosx
где sin(x)
(sin(x))’=cos(x)
y=cos(x)
(cos(x))’=lim[cos(x+∆x)-cos(x)]/∆x=lim[-2sin(∆x/2)sin((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[-2(∆x/2)sin(x+(∆x/2))]/∆x=-sinx
∆x®0 ∆x®0 ∆x®0
(cos(x))’=-sinx
где cosx
(cos(x))’=-sin(x)
y=tg(x)
(tg(x))’=(sin(x)/cos(x))’=[(sin(x))’cos(x)-(cos(x))’sin(x)]/cos2x=[cos2x+sin2x]/cos2x=1/cos2x
(tg(x))’=1/cos2x
где tg(x)
(tg(x))’=1/cos2x
Тема: «Производные, дифференциал»
y=xn
y’(x)=lim[(x+∆x)n-xn]/∆x=1=lim[xn(1+(∆x/x))-1]/∆x=/∆x/x®0,∆x®0\=lim[xn(∆x/x)n]/∆x=nxn-1
∆x®0 ∆x®0 ∆x®0
(xn)’=nxn-1
y=x^3
y’=3x^2
Рассмотрим когда х=0 y’(0)=lim(∆x)n/∆x=lim(∆x)n-1=/n>1\=0 если n=1/0,n>1;1,n=1\
∆x®0 ∆x®0