Геометрический смысл производной.
y’(x0)=lim∆y/∆x – производная функции у(х) и в точке х0.
∆х®0
∆y=y(x0+∆x)-y(x0)
y’(x0)=tgaкас где aкас – угол наклона в точке (х0;y(x0)) к оси
Теорема: Пусть $ f’(x) и g’(x), тогда $ [f(x)+g(x)]’= f’(x)+g’(x)
Доказательство: следует непосредственно из определения производной и свойств предела суммы.
Теорема: (связи между непрерывностью функции и существование производной)
Пусть $ f’(x)Þ функция f(x) – непрерывна.
Доказательство: Пусть f(x) определена в О(х0) и lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f’(x0)<¥Þ [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f(x0)+a(x-x0)[2]
∆x®x°
[f(x)-f(x0)]=f’(x0)(x-x0)+a(x-x0)(x-x0) при х®х0
lin[f(x)-f(x0)]=limf’(x0)(x-x0)+lima(x-x0)(x-x0)=0+0=0Þlinf(x)=f(x0) то есть f(x) непрерывна в точки х0
x®x° x®x° x®x° x®x°
Замечание: обратное утверждение неверно, из-за непрерывности функции в точке х0 не следует существование функции в этой точки.
y=|х
Непрерывна в точки х0=0
limx, x³0
x®+0
lim|x|= =0
lim(-x), x<0
x®-0
y(0)=0
limy(x)=limy(x)=y(0)=0 Û $ limy(x)=y(0)=0 Þ функция непрерывна
x®+0 x®-0 x®0
lim∆y/∆x-не существует, действительно х®+0Þy(x)=x
x®0
lim[y(x)-y(0)]/x=lim(x-0)/x=1
x®+0 x®+0
x®-0Þy(x)=-x
lim[y(0)-y(x)]/x=lim(0-x)/x=-1 то есть lim∆y/∆x – не существует
x®-0 x®-0 х®0
Теорема: Пусть $ u’(x) и v’(x), тогда $(uv)’=u’v+v’u
Доказательство: Зададим приращение ∆х в точки х. Рассмотрим: lim[∆(uv)]/∆x=
∆x®0
lim[1/∆x][u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x)]=lim[1/∆x][ u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x+∆x)+u(x)v(x+∆x)-u(x)v(x)=
∆x®0 ∆x®0
lim[(v(x+∆x))(u(x+∆x)-u(x))]/∆x+lim[(u(x))(v(x+∆x)-v(x))]/∆x=v(x)u’(x)+u(x)v’(x)
∆x®0 ∆x®0
Теорема: (о произведение частного)
Пусть $ u’(x) и v’(x), v’(x)¹0 в О(х), тогда $(u/v)’=[u’v-v’u]/v2
Доказательство: (u/v)’=[u(1/v)]’=[u’(1/v)]+[(1/v)’u]. Функция u(x) и v(x) –непрерывны в точки х0.
lim[∆(1/v)/∆x]=lim[1/∆x][1/(v(x+∆x))-1/v(x)]=lim[[v(x)-v(x-∆x)]/[∆xv(x)x(x+∆x)]]-[v’(x)/v2(x)]
∆x®0 ∆x®0 ∆x®0
(u/v)’=u’(1/v)-(uv)’/v2=[u’v-uv’]/v2 что и требовалось доказать