Итак, пусть . Положим , тогда получим: .
Возьмем производную от членов ряда и его суммы: и положим . Тогда . Продолжая процесс дифференцирования, получим: .
То есть, . Таким образом, коэффициенты степенного ряда являются коэффициентами формулы Тейлора для суммы ряда.
Поставим вопросы: если для произвольной функции , имеющей бесконечное число производных в точке построить ряд , называемый рядом Тейлора функции , то 1) где он будет сходиться, и
2) если будет сходиться, то будет ли сходиться к самой функции?
Ответы на поставленные вопросы.
1) Так как ряд Тейлора – это степенной ряд, то для него обычным образом можно находить радиус и интервал сходимости. То есть, .
2) Так как частная сумма ряда Тейлора – это полином из формулы Тейлора , то разность между частной суммой и функцией согласно формуле Тейлора есть остаточный член формулы Тейлора. Мы его
рассматривали в форме Лагранжа: . Таким образом, если внутри интервала сходимости остаточный член формулы
Тейлора стремится к нулю с ростом , то сумма ряда Тейлора совпадает с
|
|
исходной функцией, по которой построен ряд. И тогда говорят, что
функция представима в виде ряда Тейлора, то есть
.