Первичная обработка результатов экспериментов

Пример выполнения типового расчета

Содержание типового расчета

В каждом варианте исходных данных для расчета приведены результаты серии независимых равноточных экспериментов по изучению зависимости одной величины (Y) от другой (X) (например, зависимости предела прочности σ _B [кг/мм²] от диаметра зерна D [мкм] рекристаллизованного металла; зависимости удельного электросопротивления ρ [мк · Ом · см] от содержания добавки магния q [%] к двойному сплаву Al – Si; зависимости твердости по Виккерсу HV от времени старения τ [час] дуралюмина). Для каждого значения аргумента x_i величина функции Y_{i j} определена по результатам испытаний нескольких n_i образцов. Разброс значений функции при одном и том же значении аргумента объяснятся наличием случайных ошибок измерения или влиянием посторонних факторов, не учитываемых в данном исследовании.
По приведенным исходным данным требуется:
– построить линейную и квадратичную регрессионные модели;
– проверить адекватность построенных моделей в предположении о нормальном распределении результатов эксперимента;
– принять решение о выборе модели регрессии или о продолжении исследований.

Для каждого значения аргумента x_i, приведенного в исходных данных, вычислить среднее значение функции и эмпирическую дисперсию S_i ² (i = 1, 2,..., L). Используя результаты всех измерений, найти сводную оценку дисперсии (4.18), характеризующую дисперсию каждого отдельного измерения, и сводную оценку среднего квадратического отклонения.
Расчет производится по формулам (3.3), (3.5). Для удобства расчетов каждой эмпирической дисперсии S_i ² результаты экспериментов Y_{i j} в одной и той же точке x_i кодируют, т.е. преобразуют по линейной формуле (4.22):

где c_i – число, расположенное приблизительно посередине интервала значений величин Y _i1, Y _i2,..., Y _in, а масштабный коэффициент h выбирают так, чтобы числа u_{i j} имели по возможности меньше значащих цифр (например, были целыми взаимно простыми числами).
При этом формулы (3.7) – (3.8) приводятся к следующему виду:

(4.21)

(4.22)

Результаты расчета оформляются в табличном виде.

Задача 1. В первых двух столбцах табл. 1 приведены результаты экспериментов. Провести первичную обработку этих результатов. Найти сводную оценку дисперсии и сводную оценку среднего квадратического отклонения.

Таблица 1. Исходные данные и результаты расчета (к задаче 1)
xi	Yi j	ni	ci	Ui j	∑ Ui j
	2,0 ­ 1,8 ­ 2,2		2,0	0 –2 2			2,0
	4,3 ­ 4,0 ­ 4,0		4,0	3 0 0			4,1
	6,2 ­ 6,0 ­ 6,1 ­ 5,7		6,1	1 –1 0 –4	–4	–1	6,0
	6,9 ­ 6,8 ­ 7,3 ­ 7,0		7,1	–2 –3 2 –1	–4	–1	7,0
	4,0 ­ 3,8 ­ 4,2		4,0	0 –2 2			4,0

Решение. В столбце 3 табл. 1 запишем числа n_i измерений значений функции Y при данном значении аргумента х; в столбце 4 – выбранные значения c_i; в столбце 5 – кодированные значения результатов измерений U_{i j}, при этом масштабный коэффициент в формуле (4.21) выбран h = 0,1. В столбце 6 записаны суммы кодированных значений U_{i j} по строке; в столбце 7 – кодированные средние ; в столбце 8 – средние .
Для расчета эмпирических дисперсий по формуле (4.22) в столбце 9 запишем квадраты кодированных значений U_{i j}, в столбце 10 – суммы этих квадратов по строке; в столбце 11 – числа степеней свободы k_i; в столбцах 12 и 13 – результаты расчета эмпирических дисперсий (табл. 2).

В последней строке табл. 2 запишем суммы по столбцам 11 и 12 (по индексу i) для расчета сводной оценки дисперсии (см. формулу (2.15)): S ²_СB = 0,1² · 50/12 = 0,04167, S _СB = = 0,204.