Механической системы

Теорема об изменении количества движения

Количеством движения системы называют геометрическую сумму количеств движения всех материальных точек системы

. (70)

Для выяснения физического смысла (70) вычислим производную от (64)

. (71)

Решая совместно (70) и (71), получим

. (72)

Таким образом, вектор количества движения механической системы определяется произведением массы системы на скорость ее центра масс.

Вычислим производную от (72)

. (73)

Решая совместно (73) и (67), получим

. (74)

Уравнение (74) выражает следующую теорему.

Теорема: Производная по времени от вектора количества движения системы равна геометрической сумме всех внешних сил системы.

При решении задач уравнение (74) необходимо спроектировать на координатные оси:

. (75)

Из анализа (74) и (75) вытекает следующий закон сохранения количества движения системы: Если сумма всех сил системы равна нулю, то вектор количества движения ее сохраняет свою величину и направление.

Если , то , Q=const. (76)

В частном случае этот закон может выполнять вдоль одной из координатных осей.

Если , то, Q_z=const. (77)

Теорему об изменении количества движения целесообразно использовать в тех случаях, когда в систему входят жидкие и газообразные тела.

Теорема об изменении кинетического момента

механической системы

Количество движения характеризует только поступательную составляющую движения. Для характеристики вращательного движения тела введено понятие главного момента количеств движения системы относительно заданного центра (кинетического момента).

Кинетическим моментом системы относительно данного центра называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех его точек относительно того же центра

. (78)

Проектируя (22) на оси координат можно получить выражение кинетического момента относительно координатных осей

. (79)

Кинетический момент тела относительно осей равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела

. (80)

Из (80) следует, что кинетический момент характеризует только вращательную составляющую движения.

Характеристикой вращательного действия силы является ее момент относительно оси вращения.

Теорема об изменении кинетического момента устанавливает взаимосвязь между характеристикой вращательного движения и силой, вызывающей это движение.

Теорема: Производная по времени от вектора кинетического момента системы относительно некоторого центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра

. (81)

При решении инженерных задач (81) необходимо спроектировать на координатные оси

. (82)

Их анализа (81) и (82) вытекает закон сохранения кинетического момента: Если сумма моментов всех внешних сил относительно центра (или оси) равна нулю, то кинетический момент системы относительно этого центра (или оси) сохраняет свою величину и направление.

,

или

Кинетический момент нельзя изменить действием внутренних сил системы, но за счет этих сил можно изменить момент инерции, а следовательно угловую скорость.