Класс вычислительных формул решения задачи Коши, основанных на квадратурных формулах численного интегрирования
Рассмотрим другой класс вычислительных формул. Пусть известно значение . Нужно вычислить . Имеет место следующее тождество:
(5)
Вычислим по квадратурной формуле левых прямоугольников:
.
Тогда
,
т.е. получили формулу Ейлера.
Для получения более точного приближения необходимо в правой части (5) использовать более точную формулу численного интегрирования.
Воспользуемся, например, квадратурной формулой трапеции:
.
Тогда соответствующая вычислительная формула будет такой:
. (6)
Полученная формула более точная, чем формула Эйлера. Однако, в общем случае (6) может быть неразрешимой относиельно . Поэтому в правой части вместо используют некоторое его приближение: возможно вычислить, например, по формуле Эйлера:
,
а затем уточнить:
.
Можно воспользоваться в (5) формулой средних прямоугольников:
.
Тогда аналогично получим следующие рассчетные формулы:
.