Двойной интеграл

16.1.1. Определение двойного интеграла. Теорема существования двойного интеграла. Пусть на плоскости Oxy задана ограниченная замкнутая область D с кусочно-гладкой границей, и пусть на области D определена функция f (x, y).

Разобьём область D произвольным образом на n подобластей D ₁, D ₂, D ₃, …, D_n, (не имеющих общих внутренних точек). Символом s (D_i) будем обозначать площадь области D_i; символом diam(D)здесь и дальше будет обозначаться наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими области D:

;

символом d обозначим наибольший из диаметров областей D_i:.

В каждой из подобластей D_i (i = 1,2, …, n) выберем произвольную точку P_i = (x_i, y_i), вычислим в этой точке значение функции f (P_i) = f (x_i, y_i), и составим интегральную сумму.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при, не зависящий ни от способа разбиения области D на подобласти D_i, ни от выбора точек P_i, то функция f (x, y) называется интегрируемой по области D, а значение этого предела называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области D и обозначается.

Если расписать значение f (P) через координаты точки P, и представить ds как ds = dx dy, получим другое обозначение двойного интеграла:. Итак, кратко,.

Теорема существования двойного интеграла. Если подынтегральная функция f (x, y) непрерывна на области D, то она интегрируема по этой области.

16.1.3.1. Линейность. Если функции f (x, y), g (x, y) интегрируемы по области D, то их линейная комбинация тоже интегрируема по области D, и.

Док-во. Для интегральных сумм справедливо равенство. Переходя к пределу при и пользуясь свойствами пределов), получим требуемое равенство.

Теорема о переходе от двойного интеграла к повторному. Пусть D - простая в направлении оси Oy область. Тогда двойной интеграл от непрерывной функции по области D равен повторному интегралу от той же функции по области D:.

Тема 8.

Определение. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Векторное (линейное) пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трехмерного пространства.

9. Тема 9. Элементы аналитической геометрии в пространстве.

Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве. Основные виды уравнений плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости. Понятие о поверхностях второго порядка. И их классификации.

Уравнение прямой, проходящей через точку, перпендикулярно вектору