Степенные ряды

Свойства равномерно сходящихся рядов.

18.2.3.1. Теорема о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Если члены функционального ряда - непрерывные функции, и этот ряд равномерно сходится на отрезке, то сумма этого ряда непрерывна на.

18.2.3.2. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены функционального ряда непрерывны на отрезке, и ряд равномерно сходится к своей сумме на этом отрезке:. Тогда, т.е. интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов от членов равномерно сходящегося ряда.

18.2.3.3. Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда. Пусть члены сходящегося ряда - дифференцируемые на отрезке функции, и ряд, составленный из производных, равномерно сходится на. Тогда ряд можно почленно дифференцировать, и, т.е. производная суммы ряда равна сумме ряда из производных.

Отметим тонкость, заключённую в этой теореме: для того, чтобы ряд можно было почленно дифференцировать, требуется равномерная сходимость не самого этого ряда, а ряда, составленного из производных его членов.

Эти свойства равномерно сходящихся рядов по нашей программе принимаются без доказательства; мы будем ими пользоваться при изучении степенных рядов. Однако уже сейчас мы можем сделать из этих теорем тонкие и важные выводы. Ряд - геометрическая прогрессия со знаменателем, поэтому его сумма равна:. Мы доказали, что этот ряд равномерно сходится на любом отрезке, целиком лежащем в области сходимости (-1,1), поэтому его можно почленно проинтегрировать в пределах от 0 до:. Вычисляя интегралы, получаем. Это не только неожиданное и красивое представление числа в виде ряда, но и удобный способ его вычисления с любой точностью с простой оценкой остатка по первому отброшенному члену, так как получен ряд Лейбницевского типа (см. раздел 18.1.4.2).

18.2.4.1. Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида,

где - постоянные (коэффициенты ряда), - фиксированное число (центр сходимости). Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку.

Все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

18.2.4.2. Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке, то

1. он абсолютно сходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся ближе к точке, чем);

2. он сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащем на интервале (т.е. на интервале с центром в радиуса).

3. Если этот ряд расходится в точке, то он расходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся дальше от точки, чем).

)

(

)

(

х ₀

х ₁

х ₂

сходимость

расходимость

Доказательство. 1. Из сходимости ряда в точке следует, что его общий член стремится к нулю при; любая последовательность, имеющая предел, ограничена, следовательно, существует число С такое, что. Пусть точка х удовлетворяет неравенству, тогда. Оценим член ряда в точке х:

. Члены ряда в точке х по абсолютной величине не превосходят членов сходящейся геометрической прогрессии, следовательно, ряд сходится абсолютно в точке х, следовательно, он сходится абсолютно в любой точке интервала.

2. Пусть отрезок, целиком лежит на интервале. Из точек а, b выберем ту, которая находится дальше от точки, примем для определённости, что это - точка а:. Тогда для любого х из этого отрезка. В точке ряд, по доказанному, сходится абсолютно, но он является на мажорантой для ряда, следовательно, степенной ряд сходится равномерно на отрезке.

3. Пусть степенной ряд расходится в точке, и. То, что ряд расходится в точке х, докажем от противного. Если предположить, что он сходится в точке х, то, по доказанному, он сходится во всех точках, расположенных ближе к, чем х, следовательно, он сходится в точке, что противоречит условию.

18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда. Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R (возможно,) такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится. Действительно, пусть в точке ряд сходится, в точке ряд расходится. Рассмотрим точку, расположенную между областями, в которых установлена сходимость и расходимость. В точке числовой ряд либо сходится, либо расходится. Если он сходится, то мы можем перенести точку в точку; если ряд в точке расходится, мы переносим в точку. Продолжая этот процесс, мы сблизим точки и, эта граница и определит число R.

Определение. Число R такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится, называется радиусом сходимости. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Сходимость ряда в концевых точках интервала сходимости должна исследоваться отдельно. В зависимости от поведения ряда на концах интервала сходимости область сходимости степенного ряда может быть одной из следующих:,,,.

Итак, для определения области сходимости степенного ряда надо найти его интервал сходимости R, затем исследовать поведения ряда в концевых точках интервала сходимости.

Примеры. 1.. Для определения радиуса сходимости этого ряда целесообразно применить признак сходимости Дирихле. Однако этот признак, как и многие другие, может применяться только к положительному ряду, поэтому выпишем ряд, состоящий из абсолютных величин членов исследуемого ряда:. Применяем признак Дирихле:. Следовательно,. Мы нашли радиус сходимости R =3 и интервал сходимости. Исследуем поведение ряда на концах интервала:, ряд сходится., ряд сходится абсолютно. Область сходимости - интервал [-7,7].

В следующих примерах решения будут излагаться кратко, без пояснений.

2.. Ряд из модулей:, признак Коши. - расходится, - расходится, область сходимости - интервал.

3.. Ряд из модулей:, признак Даламбера. - сходится условно, - расходится, область сходимости - полуинтервал.

4.. Решение такое же, как в предыдущем примере, однако ряд будет знакочередующимся в точке х =5; ответ: область сходимости - полуинтервал.

В заключение рассмотрим примеры, когда область сходимости вырождается в точку или всю числовую ось:

5.. Ряд из модулей:, признак Даламбера область сходимости - единственная точка х =0,.

6.. Ряд из модулей:, признак Даламбера в любой точке х, область сходимости - вся числовая ось.

18.2.4.4. Формулы для радиуса сходимости. Получим формулы, выражающие радиус сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Ряд из модулей:; применение к этому ряду признака Коши даёт.

Применение признака Даламбера даёт. Итак,.

18.2.5. Ряд Тейлора. Мы доказали, что сумма степенного ряда в любой точке интервала сходимости бесконечно дифференцируема. Выразим коэффициенты ряда через производные суммы (похожую задачу мы решали в разделе 7.7. Формула Тейлора).

. Положим здесь. Все члены ряда, кроме нулевого, исчезают, и.

. Положим, тогда.

Продолжая этот процесс, получим. Заменив коэффициенты полученными выражениями, представим ряд как

. Ряд, стоящий в правой части этой формулы, называется рядом Тейлора функции. В частном случае, когда и ряд принимает вид

, его принято называть рядом Маклорена. Напомним, что эти ряды получены в предположении, что - сумма степенного ряда и х - точка интервала сходимости.

-2

0.5

f (х)

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями: