Знакочередующиеся ряды

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.

В случае, когда последовательность частичных сумм положительного ряда неограничена, будем говорить, что его сумма равна.

При доказательстве расходимости гармонического ряда мы, по существу, доказали, что последовательность его частичных сумм неограничена.

18.1.4. Знакопеременные ряды. Так мы будем называть ряды, которые содержат бесконечные множества как положительных, так и отрицательных членов. Естественно попытаться свести исследование сходимости таких рядов к исследованию сходимости рядов с положительными членами, для которых имеются рассмотренные выше тонкие признаки сходимости, поэтому введём понятие абсолютной сходимости.

18.1.4.1. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Рассмотрим, вместе с рядом, ряд, составленный из модулей членов ряда (А):. Докажем теорему: если сходится ряд (| A |), то сходится исходный ряд (А).

Доказательство. Пусть сходится ряд (| A |). Это – сходящийся ряд, поэтому множество его частичных сумм, ограничено. В частичной сумме исходного ряда отделим множества неотрицательных и отрицательных членов; неотрицательным членам припишем индекс, у отрицательных членов вынесем знак за скобку и их модулям припишем индекс:; здесь символом обозначена сумма входящих в положительных членов, обозначает сумму модулей входящих в отрицательных членов,. Итак,. Очевидно, что. - ограниченное множество, поэтому. Но,. Суммы тоже возрастают с ростом n и ограничены сверху, поэтому существуют конечные пределы. Но, поэтому существует конечный предел, т.е. исходный ряд (А) сходится, что и требовалось доказать.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд абсолютных величин его членов. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Доказанная теорема сводит исследование некоторых знакопеременных рядов к положительным рядам. Для знакопеременных рядов определённой структуры - знакочередующихся рядов - также существует достаточный признак сходимости.

Определение. Знакочередующимися называются ряды, члены которых поочерёдно то неотрицательны, то отрицательны.

Согласно этому определению, структура знакопеременных рядов такова:

, или, где все. Мы будем рассматривать первую из этих форм; вторая сводится к первой выносом знака за сумму.

Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Если

1. Последовательность, составленная из модулей членов знакочередующегося ряда, монотонно убывает, т.е.;

2. Выполняется необходимый признак сходимости ряда, т.е.,

то ряд сходится. Его сумма по абсолютной величине не превосходит абсолютную величину первого члена.

Доказательство. Рассмотрим последовательность чётных частичных сумм ряда. Представим эту сумму в виде. Из первого условия теоремы следует, что суммы в круглых скобках неотрицательны, поэтому последовательность монотонно возрастает с ростом n. С другой стороны,, т.е. эта последовательность ограничена сверху величиной. Следовательно. Но для нечётных сумм, так как по второму условию теоремы. Таким образом, частичные суммы имеют предел независимо от их четности или нечётности, т.е. ряд сходится, и его сумма. Знак суммы совпадает со знаком первого члена.

С помощью признака Лейбница доказывается сходимость рядов,., и т.д. Третий из этих рядов сходится абсолютно (сходится), остальные - условно (ряды из модулей членов расходятся). Естественно, существуют знакочередующиеся ряды, для которых условия теоремы Лейбница могут не выполняться; если не выполняется второе условие - необходимый признак сходимости - то ряд заведомо расходится; если не выполняется первое условие, то задача должна решаться с помощью других соображений. Рассмотрим, например, ряд Понятно, что первое условие теоремы Лейбница не выполняется (например,), поэтому эта теорема неприменима и требуется изобрести индивидуальный способ решения этой задачи. Сгруппируем члены попарно: Сумма в скобке, поэтому последний ряд (со скобками) расходится. Последовательность чётных частичных сумм неограничена, поэтому исходный ряд расходится.

18.2. Функциональные ряды.

18.2.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность функций.

независимой переменной х, имеющих общую область определения D. Ряд

называется функциональным рядом.

Примеры: 1.;

2.;

3..

Для каждого значения функциональный ряд превращается в числовой ряд, сходящийся или расходящийся. Так, первый из примеров - геометрическая прогрессия со знаменателем х, этот ряд сходится при х =1/2 и расходится при х =2.

Определение. Значение, при котором функциональный ряд сходится, называется точкой сходимости функционального ряда. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости обозначим.

Так, для первого из приведённых примеров область сходимости - интервал (-1, 1); для второго - ряда Дирихле - область сходимости - полуось х >0; третий ряд абсолютно сходится в любой точке х, так как при любом х справедливо; следовательно, область сходимости третьего ряда).

Для каждого мы получаем сходящийся числовой ряд, свой для каждого х, поэтому сумма функционального ряда есть функция, определённая на области. Так, для первого примера, как мы знаем,, т.е. на интервале

(-1, 1); вне этого интервала равенство не имеет места; так, в точке х =2 ряд расходится, а. Сумма второго ряда - знаменитая функция Римана, определённая на полуоси; эта функция играет важную роль в теории чисел. Сумма третьего ряда, как мы увидим дальше при изучении рядов Фурье, равна функции периода, получающаяся в результате периодического повторения функции, определённой на отрезке, по всей числовой оси.

Коль скоро мы осознали, что сумма функционального ряда - функция, встаёт вопрос о свойствах этой функции. Так, члены ряда могут иметь свойства непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости и т.д. Будет ли обладать этими свойствами сумма ряда? То, что это не праздный вопрос, показывает следующий пример. Пусть,,,, …,, …. Ряд состоит из непрерывных членов, найдём его область сходимости и сумму. Частичная сумма ряда. Последовательность при имеет конечный предел только, если (это и есть область сходимости ряда), при этом Таким образом, для ряда, члены которого - непрерывные функции, мы получили разрывную на области сходимости сумму.

Сумма ряда сохраняет хорошие свойства своих членов в том случае, если ряд сходится равномерно.

18.2.2. Равномерная сходимость функционального ряда. Факт сходимости ряда к своей сумме в точке сходимости х означает, в соответствии с определением предела, то, что для любого числа существует такое натуральное N, что при n > N верно. Здесь - частичная сумма ряда в точке х. Число N зависит, естественно, от, но оно зависит и от х, т.е.. В некоторых точках области сходимости ряд может сходиться к своей сумме быстро, т.е. неравенство будет выполняться при не очень больших значениях N, в других точках эта сходимость может быть медленной. Если ряд сходится к своей сумме примерно с одинаковой скоростью во всех точках х, то сходимость называется равномерной. Более точно, говорят, что ряд сходится равномерно на области G, если для любого числа существует такое натуральное число, одно и то же для всех точек,что при n > N выполняется неравенство (или, что тоже самое,, где - остаток ряда после n -го члена).

у

a n

a 3

a 2

a 1

а

b

u 1(x)

u 2(x)

u 3(x)

u n(x)

Понятие равномерной сходимости - одно из фундаментальных понятий функционального анализа. Именно равномерная сходимость обеспечивает сохранение суммой ряда хороших свойств своих членов. Чтобы осознать смысл и значение этого понятия, требуется время, которого у нас, к сожалению, нет. К счастью, имеется простой и понятный достаточный признак равномерной сходимости - признак Вейерштрасса.

Признак Вейерштрасса. Если существует такой положительный сходящийся числовой ряд, что члены функционального рядав любой точке удовлетворяют неравенству, то функциональный ряд сходится равномерно в области G.

х

Числовой ряд, удовлетворяющий неравенству, называется мажорирующим рядом, или мажорантой функционального ряда; про функциональный ряд говорят, что он мажорируется числовым рядом.

а

b

х

)

(

-1

Рассмотрим примеры, приведённые в начале раздела. Геометрическая прогрессия равномерно сходится на любом отрезке, целиком лежащем в области сходимости (-1,1). Действительно, построим мажоранту для геометрической прогрессии на. Из чисел а, b выберем большее по модулю. Пусть, например,. Тогда для любого выполняется. Таким образом, сходящийся (так как) числовой ряд мажорирует на функциональный ряд, откуда, по признаку Вейерштрасса, следует равномерная сходимость этого функционального ряда.

Ряд равномерно сходится на любой полуоси, так как на этом множестве он мажорируется рядом.

Ряд равномерно сходится на всей числовой оси (мажоранта для этого ряда уже получена - это ряд).