Определение 1: Линейное отображение векторного пространства в себя называется линейным оператором:
1) , 2) , .
Определение 2: Линейный оператор евклидового векторного пространства называется симметрическим, если
для . (1)
То есть, символ симметрического оператора при скалярном умножении можно перенести одного вектора на другой.
если - биекция
Теорема 1: симметрический линейный оператор в любом ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу.
□ Пусть симметрический линейный оператор имеет в ортонормированном базисе матрицу . Положим в формуле (1) и , тогда (2)
Так как векторы также являются базисными и выражаются через вектора с помощью матрицы то имеем:
(3) - вследствие ортогональности базиса.
Аналогично получаем
(4)
Из равенств (2), (3), (4) следует, что для любых , то есть матрица - симметрическая. ■
Теорема 2(обратная): если линейный оператор хотя бы в одном ортонормированном базисе имеет симметрическую матрицу, то он является симметрическим.
□ Пусть в ортонормированном базисе матрица линейного оператора симметричная: (5)
|
|
Тогда для получаем:
(6)
и (7)
Из равенств (5), (6), (7) следует, что , то есть оператор - симметрический. ■
Теорема 3: характеристическое уравнение симметрического линейного оператора может иметь только действительные корни матрицы, собственное значение вектора □■
Следствие: любой симметрический линейный оператор имеет хотя бы одно собственное значение.
Замечание 2: согласно основной теореме алгебры любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один комплексный корень. В частности, характеристическое уравнение симметрического линейного оператора обладает этим свойством. По теореме 3 это число - действительное, оно является собственным значением данного оператора. Числа , являются решениями векторного уравнения , также действительны и представляют собой координаты собственного вектора , соответствующего собственному значению .
Теорема 4: собственные векторы симметрического линейного оператора, соответствующие его различным собственным значениям, ортогональны между собой.
□ Пусть и причем . Так как - симметрический линейный оператор, то
или .
Так как , то или . ■
Теорема 5: для любого симметрического линейного оператора евклидова векторного пространства существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов этого оператора.
□ [5], с. 99-100, Т.2 (метод математической индукции).
Следствие: матрица симметрического линейного оператора с помощью соответствующего выбора ортонормированного базиса может быть приведена к диагональному виду; этот базис состоит из нормированных собственных векторов данного оператора.
|
|