2014-02-24
2566
Блез Паскаль (1623 - 1662) – знаменитый французский математик, физик и философ.
Определение: пусть А1А2А3А4А5А6 – шесть точек проективной плоскости Φ2, никакие из которых не лежат на одной прямой. Фигура образованная этими точками и 6-ю прямыми А1А2,А2А3,А3А4, А4А5, А5А6 называется шестивершинником и обозначается А1А2А3А4А5А6. Данные точки называются вершинами, а прямые А1А2,А2А3,А3А4, А4А5, А5А6 – сторонами. Две стороны, отделенные друг от друга двумя другими сторонами, называются противоположными: А1А2 и А4А5; А2А3 и А5А6; А3А4 и А6 А1.
Теорема (Паскаля): для того, чтобы шестивершинник мог быть вписан в овальную линию второго порядка 
, необходимо и достаточно, чтобы три точки пересечения его противоположных сторон лежали на одной прямой p (называемой прямой Паскаля).
Без доказательства.
Пример 1: Для правильного шестиугольника на расширенной евклидовой плоскости 
прямая Паскаля является не собственной.
Замечания:
1) если какие – либо две вершины шестивершинника, вписанного в овал ω, неограниченно сближаются, то соединяющая их сторона в пределе превращается в касательную к овалу ω.
В зависимости от того, сколько вершин совпадают, получаются предельные случаи теоремы Паскаля для вписанных пятивершинников, четырехвершинников и трёхверширнников;
2) Теореме Паскаля верна и в случае линии 2 порядка, состоящей из двух различных (пересекающихся) прямых 
. В этом случае она называется теоремой Паскаля – Паппа.
Папп (2-я половина 3-го века н.э.) – древнегреческий математик работал в Александрии.
Пример 2: Предельный случай теоремы Паскаля для вписанного пятивершинника
А1А2 - А2А3 - А3А4 - А4А5 - А5А6 – А6А1
A1=A6 – совпавшие вершины, A1A6 = a – касательные к ω.
Теорема: для того, чтобы пятивершинник можно было вписать в овальную линию 2 – го порядка ω, необходимо и достаточно, чтобы две точки (
) пересечения двух пар его противоположных сторон и точки (
) пересечения пятой стороны с касательной a, проведенной в двойной вершине (A1=A6), лежали на одной прямой p.
