Теория помехоустойчивых систем

Лекция 16. Теория помехоустойчивых систем

Декодирование ЦК.

Обнаружение ошибок.

Обнаружение ошибок - достаточно просто.

Если ошибок нет =>

есть =>.

При безошибочном приеме -> контрольные символы отбрасываются, информационные – используются по назначению.

Обнаружение и исправление ошибок.

Для локализации ошибок необходимо каждому вектору ошибки поставить в соответствие свой опознаватель.

Допустим:

Тогда вектор ошибки:

	=>

Т.е. достаточно загрузить в память эту таблицу.

2-й метод.

1. Вычисление остатка:

2. Подсчет веса остатка:

-вес остатка должен быть равен или < числа исправленных ошибок

W

2a. Если условие выполняется, то

3. W > S Осуществляется циклический сдвиг КК на 1 символ влево.

Полученная КК вновь делится на g(x)

If W S. То см. пункт 2а

3а. Сдвиг вправо направленной КК на 1 символ вправо.

4. Дополнительные сдвиги влево до тех пор пока: W S

Затем п2.а

Затем повторение п.3.4 столько раз, сколько было сдвигов слева.

Пример. Принята КК: 1101110

S=1

1. Делим КК на g(x):

1101110 |1011

1011

1011

1101

1011

1011

2. Проверим вес: W=3

3. Сдвиг влево на 1 разряд:

4. Делим

1011101| 1011

1011

|101|

5. Проверим вес W=2

6. Новый сдвиг и деление:

0111011 |1011

1011

1011

|001|

7. Складываем

Å

011

01110 10

8. Два циклических сдвига вправо:

9. Проверяем:

1001110| 1011

1011

1011

Метод 3. Находится опознаватель для вектора ошибки в старшем разряде

1000000| 1011

1011

1011

1011

| 101|

При поступлении в схему деления на 7 такте будет образовываться этот остаток. Если ошибка во 2 разряде, то этот остаток образуется на 8-м такте и т.д.

Цель лекции: ознакомление cкритерием оптимального приёма сообщений помехоустойчивыми корректирующими кодами, синтез алгоритмов и схем оптимальных приёмников, корреляционный приёмник, приёмник с согласованным фильтром.

Содержание:

а) критерии оптимального приёма сообщений;

б) синтез алгоритмов и схем оптимальных приёмников, корреляционный приёмник, приёмник с согласованным фильтром.

16.1 Критерии оптимального приёма сообщений

В теории статистических решений, составляющей основу теории электросвязи, для анализа качества принимаемых приемником решений используют различные критерии. Одним из наиболее общих критериев оптимальности является критерий минимального риска. Он состоит в том, что каждой паре (переданный сигнал S_i и сигнал S_j на выходе решающего устройства (РУ) приёмника) сопоставляются числа L(S_i, S_j), i, j= 0, m_a-1, называемые штрафами или потерями. Например, чем более нежелательны ошибки решений, тем больше потери (штрафы) им приписываются. Учитывая случайную природу переданных и принятых сигналов, находят средние потери или риск

(16.1)

где p(S_i)=p_i – априорная вероятность передачи сигнала S_i(t); - условная вероятность попадания принятого сигнала в пределы области решения Г_j о передаче сигнала S_i (t). Если j=i - это правильное решение; при ошибочное решение.

Соотношение (16.1) есть функционал от границ Г_j области решения. Приёмник, в котором границ (пороги) области решения Г выбраны так, что достигается минимум r₀(Г), называется оптимальным приёмником по критерию минимального риска. Часто этот критерий называют байесовским или критерией Байеса. Для его использования требуется знать априори: а) матрицу потерь,; б) априорное распределение вероятностей источника {P_i},; в) свойство канала связи для оценки переходных вероятностей. В зависимости от полноты этих сведений различают другие критерии, вытекающие из байесовского.

Критерий идеального наблюдателя получается из (16.1), если взять и при. Тогда получаем

. (16.2)

В этом случае средний риск равен средней вероятности ошибочного решения. Приёмник, обеспечивающий минимум r₁=p_ош (см. (6.2)), называется оптимальным приёмником по критерию минимума средней вероятности ошибки.

Критерий максимума апостериорной вероятности. Правило вынесения решения в этом случае основывается на анализе следующего распределения вероятностей, где

(16.3)

- апостериорная вероятность того, что передавался сигнал S_i(t), при условии, что на входе приёмника наблюдается сигнал. В (16.3) - условная ФПВ принятого сигнала при передаче сигнала S_i(t).

Если при передаче любого сигнала S_i(t) выносится решение, что передавался тот, для которого максимальна апостериорная вероятность (16.3), то для реализации вероятность правильного решения p_пр=1-p_ош максимальна. Приёмник, принимающий решение о переданном сигнале по максимуму апостериорной вероятности называют также оптимальным приёмником Котельникова.

16.2 Синтез алгоритмов и схем оптимальных приёмников, корреляционный приёмник, приёмник с согласованным фильтром

Оптимальный приёмник Котельникова.

Рассмотрим работу оптимального приёмника, работающего по критерию максимума апостериорной вероятности (16.3). Структурная схема такого приёмника приведена на рисунке 16.1.

Рисунок 16.1

Здесь в блоках под номерами 0, 1, 2,… m_а-1, на основе априорных сведений о передаваемых сигналах и статистических свойствах используемого канала связи по реализации принятого сигнала оцениваются апостериорные вероятности. Затем в блоке сравнения (БС) выносится решение о том, что передавался тот сигнал S_j , для апостериорной вероятности которого справедливо неравенство

. (16.4)

Операцию интегрирования входного сигнала с предварительным взвешиванием называют фильтрацией. С учётом этого приёмник, работающий согласно, состоит из двух блоков: первый блок – это линейный фильтр, который в данном случае называют оптимальным активным фильтром; второй блок – нелинейное пороговое устройство (двухуровневый квантователь).

Приемник на согласованных фильтрах.

Скалярное произведение между наблюдаемым случайным процессом Z(t) и опорным сигналом S_i(t)можно вычислить не только при помощи коррелятора, но и на основе пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Среди таких фильтров будем рассматри­вать согласованные фильтры, которые обладают такой передаточной функцией K(iω), что в момент времени t=T, т. е. при снятии отсчета отношение сигнал/шум на их выходе является максимальным.

Найдем выражение для передаточной функции K(iω) согласованного фильтра. Пусть S(iω) — комплексный спектр сигнала на входе фильтра, тогда спектр на выходе определяется произведением, S(iω)*K(iω). Используя об­ратное преобразование Фурье, запишем выходной сигнал в момент времени t=t₀:

(16.5)

Пусть помехой является белый шум n(t), энергетиче­ский спектр которого является равномерным на всех час­тотах G(ω) = No/2. Спектр шума на выходе фильтра опре­деляется выражением:

(16.6)

Используя теорему Винера-Хинчина, запишем дис­персию помехи на выходе фильтра:

(16.7)

Тогда отношение сигнал/шум в момент времени сня­тия отсчета t=t₀ будет иметь следующий вид:

(16.8)

Чтобы найти значение K(iω), при котором величина qв момент t=t₀ является максимальной, воспользуемся известным неравенством Буняковского-Шварца:

(16.9)

где x(f),y(f)- любые комплексные функции. При этом
знак равенства имеет место только в том случае, когда
x(f)-Cy(f), С = const, У(f) функция, комплексно сопряженная y(f). Положим теперь

(16.10)

Тогда после подстановки получим

(16.11)

Из полученного соотношения видно, что максимум величины q на выходе фильтра не зависит от формы сиг­нала, а целиком определяется отношением энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума. Данная величина q максимизируется, если передаточная функция фильтра равна

(16.12)

где С — некоторая постоянная, характеризующая усиление фильтра, S(iω) функция, комплексно сопряжен­ная со спектральной плотностью сигнала, поступающего на вход фильтра.

Запишем спектральную плотность входного сигнала и передаточную функцию фильтра в виде

(16.13)

(16.14)

17 Лекция 17. Приёмник с согласованным фильтром

Цель лекции: оОзнакомление cприёмником с согласованным фильтром и анализ помехоустойчивости систем связи с различными видами модуляций и различными методами приема сигналов.

Содержание:

а) приёмник с согласованным фильтром;

б) анализ помехоустойчивости систем связи с различными видами модуляций и различными методами приема сигналов.

17.1 Приёмник с согласованным фильтром (продолжение)

Видно, что амплитудно-частотная характеристика со­гласованного фильтра пропорциональна амплитудно-частотному спектру входного сигнала. Фазочастотная характеристика равна сумме фазочастотного спектра сигнала, взятого с обратным знаком, и фазового спектра задержки (-ωt₀). Согласованный фильтр пропускает частотные составляющие спектра, которые дают наи­больший вклад в энергию сигнала, и, наоборот, не про­пускает составляющие, где преобладает помеха. Иными словами, согласованный фильтр выделяет наиболее ин­тенсивные участки спектра и еще больше ослабляет сла­бые участки. При этом форма сигнала на выходе фильтра изменяется. Однако это несущественно, так как задача фильтра состоит не в точном воспроизведении вида сиг­нала, а в получении максимума отношения сигнал/шум. Значительная роль при этом отводится фазочастотной характеристике фильтра, которая компенсирует все фазо­вые сдвиги спектральных составляющих входного сигна­ла. Таким образом, все составляющие сигнала в момент окончания посылки t = to, складываясь, дают пик выходного сигнала.

Определим теперь импульсную реакцию согласован­ного фильтра, учитывая, что она связанна с передаточной функцией посредством обратного преобразования Фурье.

Заметим, что S*(iω) = S(- iω), тогда после замены со на ω' = -ω получим:

(17.1)

Последнее равенство следует из того, что входной сигнал связан с преобразованием Фурье с комплексной спектральной плотностью:

(17.2)

Таким образом, импульсная реакция согласованного фильтра g(t) - cS(t₀ -t) целиком определяется формой сигнала. Вид ее представлен на рисунке, где для упроще­ния положено С = 1.

Рисунок 17.2 - Импульсная реакция согласованного фильтра

На рисунке 17.2 показан сигнал S(f), появившийся в момент времени t=τ₀. Ясно, что сигнал S(tо+t), появится раньше на время to, чем сигнал S(t). Функция S(tо-t) является зер­кальным отображением функции S(to+t) относительно оси ординат. Она и представляет собой вид импульсной реакции согласованного фильтра.

Отметим, что для физической реализуемости фильтра необходимо и достаточно, чтобы g(t) = 0 при t < 0. Для финитных сигналов, поступающих на вход фильтра в момент t = 0 и заканчивающихся в момент времени Т со­гласованные фильтры вполне реализуемы, если постоянная времени tо (момент снятия отсчета) удовлетворяет условию:

t₀ +T>0 или t₀ <Т.

Отсюда видно, что момент снятия отсчета, совпадает с моментом окончания посылки сигнала.

Укажем основные свойства согласованных фильтров:

1. Среди всех возможных линейных фильтров согла­сованный фильтр позволяет получить на выходе макси­мально возможное значение величины отношения энер­гии элемента сигнала к спектральной плотности мощно­сти шума q = 2E/N₀. Причем это значение не зависит от формы сигнала. Это свойство было принято выше за оп­ределение согласованных фильтров.

2. Согласованный фильтр инвариантен (инвариант­ность — независимость) относительно момента времени поступления сигнала, т. е. времени задержки. Иными словами для этого фильтра безразлично, когда на его вход поступит сигнал. В любом случае, если он согласо­ван по форме, на выходе фильтра будем иметь максимум отношения сигнал/помеха. В отличие от этого корреля­тор не инвариантен к задержке и для максимизации сиг­нала на его выходе необходимо иметь точную тактовую синхронизацию. Заметим, что напряжения на выходах обоих устройств совпадают только в момент окончания посылок сигнала. В остальные моменты они различны.

3. Согласованный фильтр является устройством, кото­рое вычисляет функцию взаимной корреляции между принимаемым сигналом U(t) и опорным (ожидаемым, эталонным) сигналом S,(t), i =1,M. Выходное напряже­ние U(to) согласованного фильтра, как и для любого ли­нейного устройства.

Это и есть не что иное, как с точностью до постоянно­го множителя С функция взаимной корреляции (Сравни­те со скалярным произведением, найденным выше).

Благодаря этому свойству оптимальный приемник может быть выполнен на базе согласованных фильтров, что показано на рис. 17.3.

Рисунок 17.3 - Реализация оптимального по Котельникову приемника

на согласованных фильтрах

Видно, что согласованный или пассивный фильтр в отличие от активного фильтра (коррелятора) заменяет сразу три элемента в приемнике — генератор опорного колебания, перемножители и интегратор. Казалось бы, схема стала проще, на самом деле трудности, возникаю­щие при реализации оптимальных приемников на согла­сованных фильтрах, оказываются весьма существенны­ми. Сложность заключается в том, что отсчет на выходе фильтра так же, как в корреляционном когерентном при­емнике, должен производиться «с точностью до начальной фазы». Однако при этом оказывается, что величина допустимой точности должна быть меньше, чем на выхо­де активного фильтра. В последнем достаточно, чтобы неточность была мала по сравнению с длительностью посылки сигнала, а при согласованной фильтрации она должна быть меньше, чем период высокочастотного за­полнения радиоимпульсов, поступающих на вход опти­мального приемника. Эти сложности соизмеримы с трудностями реализации когерентного опорного колеба­ния в активном фильтре.