называется допустимым, если оно ограничено и его граница имеет -мерную лебегову меру ноль ().
Пр.: Куб, сфера и пр.
Лемма.
:
1. замкнуто в
2.
3.
4.
Замечание:
Для бесконечного числа множеств это не верно.
Следствия:
- Граница допустимого множества – компакт.
- Объединение, пересечение и разность конечного числа допустимых множеств - допустимое множество.
- из его покрытия системой открытых множеств можно выделить конечное покрытие, такое что:
Опр.: Говорят, что множество имеет жорданову меру ноль (), если:
Замечание:
Для границы множества жорданова мера ноль эквивалентна лебеговой.
Опр.: Характеристической функцией множества называется функция:
Замечание:
-допустимо почти всюду непрерывна (т.к. )
Интеграл по множеству.
Опр.:
Опр.:
Мерой Жордана допустимого множества называется интеграл по этому множеству от единичной функции:
Утв.: существуют или не существуют одновременно, а если существуют, то равны.
Док-во:
Функция отлична от нуля только внутри (- носитель функции ) множество точек разрыва принадлежит отличаются нулевыми слагаемыми.
|
|
Th.: Критерий Лебега интегрируемости функции по множеству.
Геометрический смысл меры Жордана
- допустимое множество,
Нижняя интегральная сумма Дарбу есть сумма объёмов промежутков, целиком принадлежащих множеству .
Верхняя интегральная сумма Дарбу есть сумма объёмов промежутков, имеющих с множеством общие точки.
Опр.:
- Если существует предел нижних сумм Дарбу, то он называется внутренней мерой Жордана.
- Если существует предел верхних сумм Дарбу, то он называется внешней мерой Жордана.
- Если внешняя и внутренняя меры Жордана совпадают, то множество называется измеримым по Жордану.
Утв.:
- измеримо по Жордану