Уравнение прямой, проходящей через две точки

РАЗДЕЛ 2. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ.

§1. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ И КАНОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение некоторой прямой на плоскости относительно некоторой системы координат можно задать (определить) различными способами. Каждому такому способу соответствует вполне определенное уравнение этой прямой.

Рассмотрим на плоскости некоторую аффинную систему координат и некоторую прямую . Пусть .

Определение. Всякий ненулевой вектор , параллельный прямой , называют направляющим вектором этой прямой.

Пусть – произвольная точка прямой . Тогда вектор коллинеарен вектору , т.е. :

. (1.1)

Следовательно, выполняется условие (1.1).

Обратно: пусть для некоторой точки плоскости выполняется соотношение (1.1). Тогда, согласно определению умножения вектора на число, точка .

Таким образом, уравнение (1.1) есть уравнение прямой, которое называют векторным (векторно-параметрическим).

Если и – радиус-векторы точек и соответственно, то (1.1) равносильно соотношению или

. (1.2)

Уравнение (1.2) также называют векторным уравнением прямой.

Записав уравнение (1.2) в координатной форме, получаем параметрические уравнения прямой:

(1.3)

Исключая параметр из соотношений (1.3), получаем каноническое уравнение прямой:

(1.4)

Замечание. Уравнение (1.4) выражает условие коллинеарности направляющего вектора прямой и лежащего на этой же прямой вектора . Иногда это условие (и, следовательно, уравнение (1.4)) записывают в виде

(1.5)

Частные случаи расположения прямой относительно системы координат:

1) Если , то векторы и коллинеарны. Тогда из (1.4) следует

или

. (1.6)

Уравнение (1.6) – уравнение прямой

2) Если , то векторы и коллинеарны. Тогда из (1.4) имеем:

. (1.7)

Уравнение (1.7) – уравнение прямой

Замечание. Точку и вектор можно рассматривать как некоторую «внутреннюю» аффинную систему координат на прямой . Тогда координатой произвольной точки в этой системе координат будет значение соответствующего ей параметра (см.(1.2) или (1.3)).