Непрерывность функции в точке. Определение. Функция у = f(x), определённая на интервале ]a, b[, называется непрерывной в точке х0 Î ]a

Определение. Функция у = f (x), определённая на интервале ] a, b [, называется непрерывной в точке х ₀ Î ] a, b [, если f (х) = f (х ₀) (то есть предел функции равен её значению при предельном значении аргумента).

Так как равенство в определении равносильно следующему (f (х) – f (х ₀)) = 0, то функция непрерывна в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема 3.1.1. Если функции f (x) и j (х) непрерывны в точке х , то также непрерывны в этой точке их сумма f (x) + j (х), разность f (x) – j (х), произведение f (x)× j (х), а также частное при условии, что j (х) ¹ 0.

Следствие 1. Целая рациональная функция Р_n(х) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + … + a _n x ⁿ непрерывна при всех х.

Следствие 2. Дробно рациональная функция

R(x) =

непрерывна при всех х, для которых знаменатель не обращается в нуль.

Теорема 3.1.2. Если функция j (х) непрерывна в точке х ₀, а функция f (у) непрерывна в точке у ₀ = j (х ₀), то сложная функция F(x) = f (j (х)) непрерывна в точке х ₀.